柱体

柱体：幾何学における筒状の立体

柱体とは、数学、特に幾何学において、平行で合同な2つの平面図形を底面とする筒状の立体図形です。上下に平行な2つの底面と、それらを繋ぐ側面で構成されています。底面は多角形や円など、様々な形状を取り得ます。

柱体の定義と種類

より厳密には、空間内の閉曲線（自己交差しない）を一つの底面とし、その曲線上の各点から平行な直線を延ばしてできる立体を柱体と定義できます。この立体を、互いに平行な2つの平面で挟んでできる有界な立体が、私たちがよく知る柱体の形状です。

2つの底面の間の距離を高さと呼びます。側面と底面が直角に交わる柱体を直柱（直柱体）、そうでないものを斜柱（斜柱体）と呼びます。斜柱は座標変換によって直柱に変換できます。

柱体の性質

柱体は、閉じた空間図形で、その表面は閉曲面です。体積は底面積（底面の面積）をB、高さをhとすると、V = Bh の公式で求められます。直柱の場合、側面積Sは底面の周長lを用いて、S = lh と表せます。

柱体の媒介変数表示

直交変換を用いることで、柱体の表面を媒介変数表示できます。例えば、Z軸方向に高さをt、底面の形状を関数F(θ)で表すと、柱体の座標(X, Y, Z)は次のようになります。

X = F_x(θ)
Y = F_y(θ)
Z = t

ここで、F_x(θ)とF_y(θ)はそれぞれ底面のx座標とy座標を表す関数です。Z=0平面への正射影は、底面の形状を表す閉曲線となります。

柱体の名称と例

柱体は底面の形状によって様々な名称で呼ばれます。いくつか例を挙げると:

角柱: 底面が多角形、側面が長方形の柱体。
三角柱: 底面が三角形
四角柱: 底面が四角形。直方体や立方体は四角柱の特殊な形です。
反角柱: 底面が多角形、側面が三角形の柱体。
* 円柱: 底面が円形の柱体。

他にも、底面が半円や扇形など、様々な形状を持つ柱体が考えられます。

まとめ

柱体は、底面と高さを基に体積や側面積を計算できる、基本的な立体図形です。底面の形状によって様々な種類があり、その性質や計算方法は幾何学において重要な役割を果たします。 様々な分野で応用される、理解しやすい形状であるといえます。

もう一度検索