楕円型偏微分方程式

楕円型偏微分方程式

楕円型偏微分方程式（だえんがたへんびぶんほうていしき、英: elliptic partial differential equation）は、数学における偏微分方程式の分類の一つです。特に、二階の線型偏微分方程式が特定の代数的な条件を満たす場合にこのように呼ばれます。

二階の偏微分方程式は、その最高階数の項の係数によって、楕円型、放物型、双曲型に分類されます。この分類は、円錐曲線（楕円、放物線、双曲線）を判別式を用いて分類する方法と深く関連しています。

最も基本的な二変数 $(x, y)$ に関する二階線型偏微分方程式は、次のような一般形で表されます。

math
Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + F = 0


ここで、$u_{xx}$ は $u$ の $x$ に関する二階偏微分、 $u_{xy}$ は $x$ と $y$ に関する混合二階偏微分などを表し、$A, B, C, D, E, F$ は $x, y$ または $u$ およびその一階偏微分に依存する関数（定数の場合もある）です。この方程式が楕円型であるとは、次の条件が満たされる場合を指します。

math
V_2 - AC < 0


この条件は、二次形式 $Ax^2 + 2Bxy + Cy^2$ の判別式 $B^2 - AC$ （または $B^2 - 4AC$ を用いる慣習もありますが、偏微分方程式の文脈では係数に $2B$ を用いることが多いため $B^2 - AC$ が用いられます）が負であることに対応します。これは、二次曲線 $Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + \cdots = 0$ が楕円を表す条件と類似しています。

特に、混合偏微分項 $u_{xy}$ が含まれない場合、すなわち $B=0$ の場合、方程式は

math
Au_{xx} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + F = 0


となります。この形の二階の項は、$A x^2 + C y^2 + \cdots = 0$ という形の二次曲線に対応します。楕円型である条件 $B^2 - AC < 0$ は、この場合 $-AC < 0$ となり、$A$ と $C$ が同符号であることを意味します。これは、標準的な楕円の方程式 $rac{x^2}{a^2} + rac{y^2}{b^2} - 1 = 0$ において $A=1/a^2$, $C=1/b^2$ となる状況とよく似ています。

より一般に、独立変数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ を持つ $n$ 次元空間における二階線型偏微分方程式は、次のような形で書かれます。

math
Lu = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{i,j}\frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j} + \text{(lower-order terms)} = 0


ここで、$L$ は楕円型作用素と呼ばれるものです。この多変数形式における楕円型の定義は、係数行列 $(a_{i,j})$ がある種の正定値性（または負定値性）を持つこととして定義されます。例えば、3次元 $(x, y, z)$ の場合、二階の項が $a u_{xx} + b u_{xy} + c u_{yy} + d u_{yz} + e u_{zz} + \cdots$ のような形になります。もし、$u(x,y,z)$ が各変数に関して分離可能な場合などに、$a u_{xx} + c u_{yy} + e u_{zz} + \cdots = 0$ といった形が現れることがあります。これは、3次元空間における楕円体の方程式 $rac{x^2}{a^2} + rac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} - 1 = 0$ と形式的に対応しています。

楕円型偏微分方程式の最も典型的で簡単な例としては、ポアソン方程式 $ riangle u = f(\mathbf{x})$ や、その特殊な場合である ラプラス方程式 $ riangle u = 0$ が挙げられます。ここで $ riangle$ はラプラシアンと呼ばれる微分作用素です。

これらのタイプの方程式は、静的な物理現象、例えば電位分布、定常的な熱伝導、流体力学における非圧縮性流れなどを記述するのに非常に重要です。

関連項目:

楕円型作用素
双曲型偏微分方程式
放物型偏微分方程式
ポアソン方程式

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