楕円

楕円：幾何学と数学の美しい曲線

楕円は、平面上に存在する2つの定点（焦点）からの距離の和が一定となる点の軌跡によって描かれる曲線です。この美しい曲線は、数学や幾何学において重要な役割を担い、様々な分野で応用されています。

楕円の定義と基本性質

2つの焦点からの距離の和が一定であるという定義から、楕円の形状は焦点間の距離によって変化します。焦点が近いほど円に近づき、焦点が完全に一致すると円になります。つまり、円は楕円の特別な場合と言えるのです。

楕円の中心は長軸と短軸の交点であり、長軸はその中心を通り、2つの焦点を通る最長の線分です。長軸の長さを長径、短軸の長さを短径といいます。長軸を2等分した線分を半長軸、短軸を2等分した線分を半短軸といい、それぞれ長半径、短半径と呼ばれます。短径と長径の比は楕円率として知られています。

楕円の方程式

楕円の方程式は、座標系と焦点の位置、焦点からの距離の和によって表現が異なります。

一般形

2つの焦点の座標と焦点からの距離の和を用いた一般形は、複雑な式となります。しかし、適切な式変形によって、より簡潔な2次方程式の形に変換できます。

標準形

中心が原点、長軸がx軸またはy軸に一致するような楕円は、標準形を用いて表現できます。この標準形は、長径と短径をパラメータとして含んだ簡潔な式で表され、楕円の形状を理解する上で非常に便利です。a > b > 0 の場合、2a が長径、2b が短径になり、x軸方向に長い楕円となります。逆に b > a > 0 の場合は、2b が長径、2a が短径になり、y軸方向に長い楕円となります。a = b の場合は円になります。

媒介変数表示

媒介変数tを用いた媒介変数表示も可能です。この表現を用いることで、楕円の形状を角度tの変化によって描くことができます。また、u = tan(t/2) と置き換えることで別の媒介変数表示も得られます。

複素数平面での表現

複素数平面においても、2点からの距離の和が一定であるという条件で楕円を定義できます。これは、複素数と距離の概念を組み合わせた表現であり、複素解析の分野で応用されています。

楕円の幾何学的諸量

楕円の形状は、離心率eと扁平率fという2つの量によって特徴付けられます。離心率は焦点間の距離と長軸の長さの比を表し、扁平率は長径と短径の差を長径で割った値です。

楕円の面積は、長半径と短半径の積にπをかけた値で簡単に求められます。一方、楕円の周長は、第一種完全楕円積分を用いて表現されますが、解析的な解は存在せず、近似式を用いることが一般的です。ラマヌジャンによる近似式など、精度の高い近似式がいくつか知られています。

楕円弧長は、第二種不完全楕円積分を用いて表すことができます。媒介変数表示を用いた場合、積分範囲やa, bの大小関係によって場合分けが必要になります。

楕円の作図法

楕円は、2つの焦点に糸を固定し、糸を張った状態を保ちながら筆記具を動かすことで作図できます。他にも、楕円コンパスやテンプレートなどを使った方法もあります。内トロコイドという曲線の特殊な場合として楕円が描かれることもあります。

歴史

中国では、木の切り株の形から「楕円」という名称が付けられたと言われています。日本では、田畑の形などから「飯櫃形」や「平卵形」などと呼ばれ、関孝和は「側円」と呼んでいました。明治時代になってから「楕円」と呼ばれるようになりました。

関連事項

楕円は、円錐曲線、楕円軌道、楕円積分、楕円関数、楕円体、回転楕円体、地球楕円体など、様々な数学的・科学的な概念と密接に関連しています。また、ラグビーボールなども楕円形状をしています。

楕円は、幾何学的な美しさだけでなく、数学や物理学、天文学など、様々な分野で重要な役割を果たしている、魅力的な曲線です。

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