正則環

正則環 (Regular Ring)

可換環論における正則環は、可換ネーター環であって、その任意の素イデアルにおける局所化が正則局所環であるものを指します。これは、すべてのそのような局所化において、極大イデアルの生成元の最小個数がクルル次元と等しいという性質を持つことを意味します。

定義

ジャン＝ピエール・セール(Jean-Pierre Serre)は、正則環を大域ホモロジー次元が有限である可換ネーター環として定義しました。そして、この定義が上記の定義と同値であることを示しました。正則環のクルル次元は、その大域ホモロジー次元と一致します。

例

正則環の例としては、以下のものが挙げられます。

体 (次元0)
デデキント整域
正則環 A に対する多項式環 A[X] (次元は1増加)

性質

正則環は被約環ですが、整域である必要はありません。例えば、2つの正則整域の積は正則環ですが、整域ではありません。

非可換環への拡張

可換とは限らない環の場合、大域次元が有限で、polynomial growth（Gelfand-Kirillov次元が有限）を持ち、ゴレンシュタイン環であるときに、正則であると定義されます。

関連事項

楕円代数
幾何学的正則環

参考文献

Jean-Pierre Serre, Local algebra*, Springer-Verlag, 2000, ISBN 3-540-66641-9. Chap.IV.D.

要点

正則環は、特異点を持たない代数多様体に対応する環として、代数幾何学において重要な役割を果たします。正則環の概念は、可換環論の枠組みを超えて、非可換環論やホモロジー代数など、様々な分野に拡張されています。特に、大域ホモロジー次元を用いた特徴付けは、環の構造を深く理解するための強力な道具となります。

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