正則素数

正則素数について

数論の中で特に重要な概念の一つ、正則素数について詳しく見ていきましょう。正則素数とは、円のp分体の類数を割り切らない素数のことを指し、エルンスト・クンマーによって提唱されました。この定義により、正則素数は数論や代数的数論において特別な役割を果たしています。

正則素数の例

正則素数の最初のいくつかの例として、次の数が挙げられます：3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, …。正則素数は無限に存在すると考えられており、そのおおよその割合はおよそ61%とされています。具体的には、

• - 3: 最初の正則素数
• - 5: 二番目の正則素数
• - 7: 三番目の正則素数
• - 11: 前述のように、正則素数の中でも特に小さい部類に入ります。

このように、正則素数は特定の性質を持ち、数論においての研究が続けられています。

クンマーの業績

クンマーは、正則素数が奇数である場合、その正則性は特定のベルヌーイ数の分子がその素数で割り切れないことと等価であることを示しました。この結果により、特にフェルマーの最終定理に関連する多くの問題が解明されることとなりました。正則素数が与えられた場合、これが成り立つためには、ベルヌーイ数がその素数で割られない必要があります。

非正則素数

対照的に、正則でない奇素数は「非正則素数」と呼ばれます。最初の非正則素数には、37, 59, 67, 101, 103 などがあり、これは次のように続いていきます。非正則素数の存在もまた、数論における興味深いテーマの一つであり、K. L. ジェンセンは1915年にこれらの非正則素数も無限に存在することを証明しました。

ベルヌーイ数と非正則指数

非正則素数に関連するベルヌーイ数の分子がその素数で割られる回数を「非正則指数」と呼びます。この指標は、数論の研究において重要な役割を持ちます。正則および非正則素数の特性を研究することは、未解決の数論問題に対して新たな視点を提供します。

正則素数の存在に関する予想

正則素数は無限に存在すると予想されていますが、これはまだ完全には証明されていません。実際に、1939年にクンマーによって提唱された予想は、その後の研究でも解決されていない難問の一つです。数論の進展に伴い、このテーマは未だ研究の余地が残されている重要な分野と言えます。

参考文献

• - Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004.
• - Carl Ludwig Siegel, Zu zwei Bemerkungen Kummers. Nachr. Akad. d. Wiss. Goettingen, Math. Phys. K1., II, 1964.

関連項目

• - Herbrand–Ribet theorem

このように、正則素数とその関連する概念は、数論において深い意義を持ち続けています。

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