汎函数計算

汎函数計算とは

数学、特に函数解析学の分野において、汎函数計算（はんかんすうけいさん、英: functional calculus）は、抽象的な対象である「作用素」に対して、「関数」を適用するという一見奇妙な操作を、数学的に意味のある形で定義し、その性質を探求する理論です。

通常の関数は実数や複素数といった数値を引数としてとります。例えば、関数 $f(x) = x^2$ であれば、変数 $x$ に数値を代入して $f(2) = 4$ のように計算します。しかし、汎函数計算が扱うのは、ベクトル空間から別のベクトル空間への写像である作用素です。形式的に「$f(M)$」のように書いたときに、作用素 $M$ に関数 $f$ を適用した結果が何を意味するのか、またそれがどのように振る舞うのかを明確にすることが、この理論の目的となります。

この考え方は、例えば正方行列 $M$ に対してその二乗 $M^2$ や三乗 $M^3$ を考えることに似ています。これは関数 $f(x) = x^n$ を行列に適用していると見なせますが、汎函数計算はこれをより一般的な関数へと拡張しようとするものです。特定の作用素の性質を、より理解しやすい関数の性質を通して把握できるようになるため、様々な数学的な解析に不可欠なツールとなっています。

多項式汎函数計算

最も基本的な汎函数計算は、作用素に多項式関数を適用することです。例えば、作用素 $T$ と多項式 $P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ があるとき、$P(T) = a_n T^n + \dots + a_1 T + a_0 I$（ただし $I$ は単位作用素）と定義するのは比較的自然です。

作用素が有限次元のベクトル空間上の線形写像、すなわち行列である場合、この多項式汎函数計算は非常に強力なツールとなります。行列 $A$ に対して $P(A) = 0$ となる多項式 $P(x)$ の全体は、多項式環におけるひとつのイデアルを形成します。有限次元の場合、このイデアルはゼロ多項式だけからなる自明なイデアルではありません。そして、このイデアルを生成する多項項式の内で次数が最小かつ最高次の係数が1であるものは、その行列に固有に定まる「最小多項式」と呼ばれます。

最小多項式は、その行列の様々な重要な情報を含んでいます。例えば、あるスカラー $\lambda$ が行列の固有値であることと、$\lambda$ が最小多項式の根であることは同値になります。また、行列の指数関数 $\exp(A)$ の計算なども、最小多項式を利用することで効率的に行うことが可能です。

無限次元の場合とスペクトル論

一方、作用素が無限次元の空間上のものである場合、多項式汎函数計算だけでは多くの場合、十分な情報を引き出すことができません。例えば、特定の無限次元作用素（ずらし作用素など）に対しては、ゼロでない多項式を適用してもゼロにならない、すなわち零化する多項式が存在しないことがあります。

このため、汎函数計算の枠組みを、多項式関数から有理関数、連続関数、あるいはさらに一般的なボレル関数といったものへと拡張する必要があります。このようなより広範な関数に対する汎函数計算は、作用素の持つ「スペクトル」（有限次元における固有値の概念を拡張したもの）と深く関連しています。

特に、対角化可能な作用素や掛け算作用素といった、スペクトルが比較的扱いやすい作用素に対しては、関数の適用方法が明確に定義できます。このことから、汎函数計算の発展はスペクトル論と密接に関わりながら進んできました。作用素のスペクトル集合上で定義された関数を、その作用素に適用することで、もとの作用素の性質を、関数の性質を通して解析することが可能になるのです。

汎函数計算には、扱う関数のクラスや作用素の性質に応じていくつかの主要な構成法が存在します。代表的なものとしては、正則関数を用いる「正則汎函数計算」、連続関数を用いる「連続汎函数計算」、そして最も一般的に適用範囲が広い「ボレル汎函数計算」などがあります。

これらの理論は、量子力学における観測量の数学的な表現や、偏微分方程式の解の構成など、物理学や工学の様々な分野に応用されています。

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