準フロベニウス環

フロベニウス環とその一般化

数学の一分野である環論において、フロベニウス環やそこから派生した概念群は、重要な研究対象となっています。これらの環のクラスは、もともとゲオルク・フロベニウスによって研究された多元環の系譜に連なるもので、R. ブラウアー、森田紀一、中山正、C. J. Nesbitt, R. M. Thrallといった多くの数学者たちによってその理論が発展させられてきました。

最も基本的な概念の一つに準フロベニウス環（QF環）があります。この環は、いくつかの同値な性質によって特徴づけられます。例えば、環Rが準フロベニウスであることは、Rが「片側ネーター環かつ片側自己移入環」であること、あるいは「片側アルティン環かつ片側自己移入環」であることと同値です。また、射影的な右（または左）R加群がすべて移入的であること、あるいは移入的な右（または左）R加群がすべて射影的であることとも同値になります。

フロベニウス環は、準フロベニウス環の特別な場合として定義されます。環Rがフロベニウス環であるためには、準フロベニウス環であることに加えて、そのジャコブソン根基Jに対し、右R加群としての半単純成分 soc(R~R~) が R/J と同型であり、かつ左R加群としての半単純成分 soc(~R~R) も R/J と同型であるという条件を満たす必要があります。

可換環の場合、フロベニウス環と準フロベニウス環は一致します。可換環Rがこれらの条件を満たすことは、Rが有限個の局所アルティン環の直和であり、それぞれの局所環が唯一の極小イデアルを持つこと（すなわち、0次元ゴレンスタイン局所環であること）とも同値になります。

準フロベニウス環は、さらに広く一般化されます。例えば、右擬フロベニウス環（右PF環）は、すべての忠実右R加群が右R加群の圏の生成元であること、あるいは右自己移入的かつMod-Rの余生成加群であることなど、いくつかの同値な条件で定義されます。また、右有限擬フロベニウス環（右FPF環）は、すべての有限生成忠実右R加群がMod-Rの生成加群である環として定義されます。

また、R. M. Thrallは、フロベニウス代数が持つ特定の性質に着目し、QF-1, QF-2, QF-3と呼ばれる環のクラスを提唱しました。森田紀一や太刀川弘幸らによってもこの研究は進められています。左または右アルティン環Rに対し、これらのクラスは以下のように定義されます。

QF-1環: すべての忠実左加群およびすべての忠実右加群が平衡加群である。
QF-2環: 各直既約射影右加群と各直既約射影左加群が唯一の極小部分加群を持つ（半単純成分が単純加群である）。
* QF-3環: 右R加群の移入包絡 E(R~R~) および左R加群の移入包絡 E(~R~R) がともに射影加群である。

これらのクラスは、アルティン環の仮定の下でも必ずしも包含関係にあるわけではありませんが、QF-2環はQF-3環であることが知られています。

具体的な例としては、体k上のすべてのフロベニウスk多元環はフロベニウス環です。すべての半単純環は、加群が射影的かつ移入的であるため準フロベニウス環であり、さらにフロベニウス環でもあります。また、任意の自然数n>1に対する商環 Z/nZ も準フロベニウス環の例です。可換アルティン列環はすべてフロベニウス環であり、その非零な商環もすべてフロベニウス環となります。PF環やFPF環には、より多様な例が存在します。

これらの環の性質に関する興味深い点として、QF環、PF環、FPF環であるという性質は森田同値によって保たれるのに対し、フロベニウス環であるという性質は一般には保たれないことが挙げられます。また、片側ネーター環においては、左または右PFであることはQFであることと同値になります。QF環は、その上の加群を自由加群に埋め込むことができるという特徴的な性質も持っています。

これらの環に関する詳細は、Anderson & Fullerの「Rings and Categories of Modules」やFaith & Pageの「FPF Ring Theory」、Nicholson & Yousifの「Quasi-Frobenius rings」といった専門書で詳しく解説されています。

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