漸近的に平坦な時空

漸近的に平坦な時空とは

漸近的に平坦な時空（Asymptotically Flat Spacetime）とは、特定の領域から十分に距離がある場所で時空の曲率がゼロに近づき、ミンコフスキー空間と見分けがつかなくなるようなローレンツ多様体を指します。この概念は一般相対性理論などの計量重力理論の文脈で特に重要視されています。

漸近的平坦性の概念

一般相対性理論では、重力場や物質が影響を及ぼす領域から十分に離れた空間では、その影響を無視できると考えます。そして、このような条件下での時空が漸近的に平坦であるとされます。具体的には、孤立した星などの有限質量物体から離れるほど、重力場は無視できるほど小さくなります。こうした時空は通常「孤立系」とされ、外部の重力の影響を受けない状態を指します。

漸近的平坦性の重要性

漸近的平坦性は、物理的及び数学的な状況を非常に単純化します。たとえば、宇宙に点としてしか存在しない星のモデルを考える場合、その星が他の物体と十分に距離があるとすれば、その重力場の影響を考慮から外すことが可能となり、よりスムーズに解析が行えます。このため、漸近的に平坦な時空は特に有利とされています。実際、漸近的に平坦な真空解は、孤立した物体の外部重力場をモデル化するためによく使用されます。

漸近的平坦性の形式的定義

数学的には、任意のヌル測地線の未来および過去端点が共形コンパクト化された特定の境界上に位置する場合、漸近的に単純であると定義されます。弱い漸近的単純性条件に基づくこれらの多様体では、重力源から遠く離れた地点でリッチテンソルがゼロになることが求められます。この場合、漸近的に平坦である多様体に関しては、また異なる評価が適用できることになります。

漸近的平坦性の例と反例

漸近的平坦性を満たすものの一例はシュワルツシルト解であり、これは孤立した物体の周囲の空間をモデル化するのに適しています。一方で、FRWダストモデルはこの対極にあり、漸近的に平坦な時空とは言えません。また、カー解も重要な例であり、状況の普遍性を通じて漸近的平坦性を強化しています。一方で、ド・ジッター宇宙における球対称の有限質量物体をモデル化したシュワルツシルト・ドジッター・ラムダ真空解は、漸近的に平坦ではないとされています。

漸近的平坦性と座標の使用

漸近的に平坦な時空を定義するもっとも基本的なアプローチでは、デカルト座標を使用して長距離での挙動を検討します。その際、計量はミンコフスキーの背景計量と摂動との加算で表現され、特定の条件が満たされることが求められます。この場合、摂動の影響が極めて早くゼロに収束することが重要な要素として考慮されます。

漸近的平坦性の応用

この概念は、一般相対性理論の厳密な解を探求したり、他の物理理論と関連づけたりする際に非常に便利です。具体的に言うと、境界値問題や物理的量の一般的な定義を得る手助けとなります。これにより、様々な物理的現象を理論的にモデル化する際の基盤となります。

漸近的平坦性に対する批判

ただし、漸近的平坦性の概念は批判の声も多く受けており、特に「回転する」星のモデル化についての難しさが論点とされています。静的かつ球対称な星をモデル化することは一定の成功を収めているものの、回転する星の解析には極めて多くの技術的困難が伴うためです。このような批判は、漸近的平坦性の役割や実用性に対しての議論を引き起こしています。

漸近的に平坦な時空の概念は、このように深遠で多岐にわたる影響を持ち、物理理論の発展に貢献しています。

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