カー解

概要

一般相対性理論が記述する時空の姿を理解する上で、ブラックホールは最も興味深い天体の一つです。ブラックホールの中でも特に重要な位置を占めるのが「カー解（カー計量）」と呼ばれるアインシュタイン方程式の厳密解です。これは、質量を持ち、かつ自転しているブラックホールが周囲の真空中に作り出す時空の形状を表現しています。1963年にニュージーランドの数学者、ロイ・カー博士によって発見されました。この解は、静的で回転しないブラックホールを表すシュヴァルツシルト解を、回転という要素を加えて拡張したものです。

特徴と構造

カー解で記述されるブラックホールは、いくつかの特徴的な時空構造を持ちます。

基本パラメータ

カーブラックホールは、その質量（M）と角運動量（J=Ma）の二つの物理量によって完全に特徴づけられます。さらに後に、電荷を持つブラックホールを表す「カー・ニューマン解」も発見され、これは質量、角運動量、電荷の三つのパラメータで定まる最も一般的なブラックホール解と考えられています。

対称性

カー時空は、時間が経過しても変化しない「定常性」と、中心軸の周りでどの角度から見ても同じである「軸対称性」という、二つの重要な対称性を持っています。これは、時空の形状が時間並進と回転という二つの操作に対して不変であることを意味し、それぞれに対応する保存量が物理系に存在します。

事象の地平面

ブラックホールの最もよく知られた特徴は、事象の地平面の存在です。これは、一旦内部に入ると光ですら脱出できなくなる境界です。カーブラックホールの場合、回転の速さによってこの地平面の構造が異なります。

遅速回転 (|a| < M)：角運動量が質量の作る重力よりも小さい場合、事象の地平面は二つ存在します。外側の地平面と内側の地平面です。回転しないシュヴァルツシルトブラックホールでは一つだけでしたが、回転が加わると構造が複雑になります。
極限カー時空 (|a| = M)：角運動量がちょうど質量に対応する値に等しい場合、二つの地平面は一つに合体し、縮退した地平面となります。
高速回転 (|a| > M)：角運動量が質量の作る重力を超える場合、事象の地平面は存在しません。理論上は中心の特異点が外部から見えてしまう「裸の特異点」となりますが、このような状態が物理的に安定に存在するかは「宇宙検閲官仮説」という未解決問題と関連しています。

エルゴ領域

カーブラックホールでは、事象の地平面の外側に「エルゴ領域」と呼ばれる特殊な領域が存在します。この領域では、ブラックホールの回転に引きずられて、どんな観測者も静止していることができません。必ず回転と同じ方向に運動せざるを得なくなります。エルゴ領域は事象の地平面よりも外側に位置し、外側の境界をエルゴ球面と呼びます。エルゴ領域では、粒子がエネルギーを得る「ペンローズ過程」が可能になります。

特異点

ブラックホールの中心には、時空の曲率が無限大になる「特異点」が存在します。シュヴァルツシルトブラックホールでは点状の特異点でしたが、カーブラックホールでは回転の影響により、中心軸上のリング状（円環状）の特異点になると理解されています。

理論的意義

カー解は、単なるアインシュタイン方程式の一解というだけでなく、ブラックホール物理学における基礎的なモデルとして非常に重要です。

ブラックホール脱毛定理：現実的な天体崩壊によって形成されるブラックホールは、最終的には質量、角運動量、電荷の三つの物理量のみを持つカー・ニューマン解に落ち着くと考えられています。これは「ブラックホールに毛はない」という定理として知られています。
ブラックホール唯一性定理：アインシュタイン・マクスウェル方程式の軸対称で定常な解は、カー・ニューマン解に限られることが示されています。これは、特定の条件下でのブラックホールの「個性」が質量、角運動量、電荷のみに限定されることを裏付けます。
ブラックホール熱力学：スティーブン・ホーキング博士らは、ブラックホールを熱力学的な系とみなす「ブラックホール熱力学」を構築しました。この枠組みでは、ブラックホールの面積がエントロピーに対応し、時間とともに増大するという「ブラックホール面積定理」が導かれます。カーブラックホールは、この面積定理を検証する上でも重要な対象です。

数学的な記述

カー時空の幾何学は、「カー計量」と呼ばれる時空の距離を測るための数学的な表現で記述されます。一般的には、「ボイヤー・リンキスト座標」という特別な座標系で表されることが多いですが、この座標系では事象の地平面などで座標特異点が生じます。これらの特異点を回避し、時空全体を滑らかに記述するためには、「エディントン・フィンケルシュタイン座標」のような別の座標系が用いられます。

隠れた対称性

カー時空のもう一つの数学的に注目すべき点は、その高い対称性です。定常性と軸対称性に対応する二つの保存量に加えて、自由落下する粒子の運動（測地線）を完全に記述するためには、さらに別の保存量が必要です。ブランドン・カーター博士は、この「カーター定数」と呼ばれる第四の保存量の存在を発見しました。これは、カー時空における測地線の方程式が変数分離によって解けることを示しています。後に、このカーター定数が、時空の「隠れた対称性」と関連する「キリングテンソル」や、より基本的な「キリング・矢野テンソル」と呼ばれる幾何学的対象から導かれることが明らかになりました。この事実は、カー時空が一般相対性理論の解の中でも特別な、非常に豊かな構造を持っていることを示唆しています。

まとめ

カー解は、回転するブラックホールを記述する基本的な解として、一般相対性理論、ブラックホール物理学、さらには量子重力理論の研究においても不可欠な概念です。その複雑でありながらも美しい数学的構造は、時空の性質に関する深い洞察を与えてくれます。

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