漸近線

解析幾何学における平面曲線の漸近線

平面曲線の漸近線とは、曲線が無限に伸びていく際に、その曲線と直線の距離が限りなく0に近づく直線のことです。ただし、漸近線は曲線と交わっても構いません。

漸近線は必ずしも存在するとは限りませんし、複数存在することもあります。また、漸近線は、曲線の遠く離れた点における形状を近似的に表す役割を果たします。

関数の漸近線

関数のグラフにおける漸近線は、大きく分けて2種類あります。

1. y軸に平行な漸近線: このタイプの漸近線は、関数f(x)において、xがある値aに近づく際に、f(x)が正または負の無限大に発散する場合に存在します。つまり、

lim_(x→a+) f(x) = ±∞
lim_(x→a−) f(x) = ±∞

のいずれかが成立する場合です。この場合、x = aが漸近線となります。これらの極限は、関数f(x)がx = aで不連続であることを意味します。

2. x軸に平行、または傾きのある漸近線: このタイプの漸近線は、xが正または負の無限大に近づく際に、f(x)が直線y = ax + bに近づく場合に存在します。係数aとbは、以下の極限で求められます。

a = lim_(x→±∞) f(x)/x
b = lim_(x→±∞) (f(x) - ax)

これらの極限が存在する場合、y = ax + bが漸近線となります。特にa=0の場合、漸近線はx軸に平行になります。

分数関数の漸近線

分数関数 y = g(x)/h(x) （g(x)とh(x)は多項式で、既約分数式であると仮定します）の漸近線は、以下の方法で求めることができます。

1. y軸に平行な漸近線: h(a) = 0 かつ g(a) ≠ 0 を満たすaをすべて求めると、x = aが漸近線となります。
2. x軸に平行または傾きのある漸近線: g(x)をh(x)で割ったときの商をq(x)、余りをr(x)とすると、y = q(x)が漸近線となります。ただし、g(x)の次数がh(x)の次数より高々1つ大きい場合に限ります。

媒介変数表示された曲線の漸近線

媒介変数表示された曲線C: (x(t), y(t)) の漸近線は、媒介変数tがある値βに近づく際に、点(x(t), y(t))と直線lの距離が0に近づく直線lとして定義されます。直線l: ax + by + c = 0とすると、漸近線の条件は、

lim_(t→β) (ax(t) + by(t) + c) = 0

となります。

曲線である漸近線

漸近線は直線であるとは限りません。例えば、y = x² + 2x + 3 + 4/xという関数では、x → ±∞のとき、曲線y = x² + 2x + 3に漸近します。この放物線も漸近線として考えることができます。

まとめ

漸近線は、曲線の無限遠における挙動を理解する上で重要な概念です。その求め方は関数によって異なりますが、基本的には関数の極限を用います。分数関数や媒介変数表示された曲線、さらには曲線である漸近線についても、それぞれの方法で求めることができます。

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