無限の猿定理

無限の猿定理：シェイクスピアと確率の不思議な関係

無限の猿定理は、ランダムに文字を打ち続ける猿が、十分な時間があればシェイクスピアの戯曲『ハムレット』のような複雑な文章を書き上げることができるという、確率論に基づいた定理です。一見すると非現実的なこの定理は、確率と無限、そして巨大な数の概念を理解する上で重要な示唆を与えてくれます。

定理の概要と解釈

この定理の中心にあるのは、「十分な時間」と「ほぼ確実に」という曖昧な表現です。これらの言葉は、数学的には確率論と測度論を用いて厳密に定義されます。具体的には、ボレル・カンテリの補題を用いた証明が可能となります。

簡単に説明すると、タイプライターのキーが100個あると仮定した場合、「monkey」という6文字の単語がランダムにタイプされる確率は(1/100)^6と非常に小さくなります。しかし、試行回数を無限に増やせば、この単語がタイプされる確率は1に近づきます。これは、どんな短い文章でも、無限の試行回数があれば必ず生成されることを意味します。

しかし、文章の長さが増えるにつれて、その生成に必要な時間は指数関数的に増加します。例えば、100文字の文章を生成するのに必要な時間は、現実的な時間スケールをはるかに超えるほど膨大になります。『ハムレット』のような長編小説を生成するには、宇宙の年齢をはるかに超える時間がかかるでしょう。

この定理は、確率的に起こりうる事象であっても、実際に起こるかどうかは別問題であることを示しています。無限の時間が存在しない現実世界においては、猿が『ハムレット』を書き上げるという出来事は、事実上不可能です。それでも、この定理は数学的には正しい主張であり、確率論における重要な概念を理解する上で役立ちます。

歴史と様々な解釈

無限の猿定理の概念自体は、古くから存在していました。アリストテレスやキケロの著作にも、ランダムな組み合わせから複雑な構造が生成されるという類似の考え方が見られます。その後、ブレーズ・パスカルやジョナサン・スウィフトなども、この概念に言及しています。

20世紀初頭には、エミール・ボルレルやアーサー・エディントンが、統計力学における不可逆性の説明にこの定理を用いました。近年では、進化論の擁護者と創造論者の両方が、この定理を進化の過程の比喩として用いることもあります。

応用と関連分野

無限の猿定理は、確率論や統計力学だけでなく、様々な分野で応用されています。

文学理論: テクストの作者性や同一性に関する議論に利用されます。猿が書いた『ハムレット』は、シェイクスピアが書いたものと同じと言えるのか？という問いは、芸術作品の本質や創作行為について深く考えるきっかけとなります。

進化論: ランダムな突然変異と自然淘汰の過程を説明する比喩として用いられます。ランダムな変異は猿のランダムな打鍵に、自然淘汰は目的のある文章を選択する過程に例えられます。

乱数の生成: コンピュータによる擬似乱数の生成のテスト方法として応用されています。ランダムな文字列を生成し、それがどの程度のランダム性を持っているかを評価します。

大衆文化: 文学作品、映画、テレビ番組など、様々なメディアで取り上げられ、確率と無限の概念を一般に分かりやすく説明するのに役立っています。

実際の猿を使った実験

2003年、イギリスのプリマス大学では、6匹のクロザルを使って、実際にこの定理を実証する実験が行われました。しかし、結果は驚くべきものでした。猿たちはキーボードを破壊したり、排泄物をしたりするなど、意味のある文章を生成することは全くできませんでした。この実験は、無限の猿定理が理論上のものであり、現実世界では実現不可能であることを示す結果となりました。

まとめ

無限の猿定理は、確率論における重要な概念を分かりやすく示す比喩として広く知られています。しかし、その現実的な可能性は極めて低く、むしろ数学的な思考実験として、確率と無限、巨大な数といった概念を理解する上で重要な役割を果たしています。この定理は、私たちに、確率的な事象と現実的な事象の違いを改めて認識させる貴重な教訓を与えてくれます。

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