統計力学

統計力学の概要

統計力学は、微視的な物理法則をもとに、巨大な数の粒子からなる力学系の特性を確率論を用いて解析する物理学の分野です。しばしば統計物理学や統計熱力学とも呼ばれ、特にルートヴィッヒ・ボルツマン、ジェームズ・クラーク・マクスウェル、ウィラード・ギブズといった科学者たちの業績により、理想気体の熱的性質や分子運動論を用いて、この領域が発展し広がりました。

この分野では、巨大な数の粒子（おおよそアボガドロ数、すなわち10^23程度）から構成される系の状態を考えます。そのため、系の状態を明確に指定するためには膨大な自由度が必要ですが、この場合、熱力学的には少数の物理量（温度、圧力、エネルギーなど）によって状態が定義されることが多いのです。このことから、巨大な数の微視的な状態が、少数の巨視的な状態に結びつくことが統計力学の中心的な課題となります。

系のすべての状態の集合をΩとすると、特定の状態ωにおける物理量は確率変数O(ω)で表現されます。たとえば、指定された条件αの下で系が状態ωを取る確率がp(ω|α)で得られる際、その熱力学的な物理量の期待値は次のように計算されます。

$$
O(α) = ⟨O(ω)⟩_{α} = ∑_{ω ∈ Ω} O(ω) p(ω|α)
$$

ここで、エントロピーS(α)は以下のように定義できます。

$$
S(α) = -k ⟨
ln p(ω|α)
angle_{α} = -k ∑_{ω ∈ Ω} p(ω|α) ln p(ω|α)
$$

この式における定数kはボルツマン定数を示します。

古典統計と量子統計

統計力学は古典的力学に基づく古典統計力学と、量子力学を基盤にした量子統計力学に大別されます。古典論では標本空間Ωは位置や運動量などからなる正準変数によって構成され、量子論では状態ベクトルと呼ばれる物理的記述が用いられます。

古典力学においては、物理量Oは位相空間の関数として表現され、量子力学ではエルミート演算子を用います。これに対し、量子論の結果を古典的な形で再解釈することも可能で、これが古典統計力学と量子統計力学の関係を形成します。

確率分布と統計集団

系が取る微視的な状態は、エネルギーや温度、化学ポテンシャルなどの状態変数により決定されます。この状態に対して定義された条件は、アンサンブルまたは統計集団と呼ばれます。代表的なアンサンブルには、孤立系に対するミクロカノニカルアンサンブル、等温閉鎖系に対応するカノニカルアンサンブル、等温・等化学ポテンシャルの開放系を用いたグランドカノニカルアンサンブルがあります。

平衡系の統計力学

平衡系の統計力学は等重率の原理とボルツマンの原理によってさらに詳細に記述されます。ボルツマンの原理により、微視的な確率分布が熱力学的エントロピーと関係づけられ、確率分布の情報は分配関数としても現れます。これにより、孤立系ではエネルギーE、体積V、粒子数Nで示される微視的状態が等しい確率を持つことになります。

エルゴード理論と非平衡系

エルゴード理論では、十分な粒子を持つ系における任意の物理量の長時間平均が熱力学における巨視的物理量と一致することが期待されます。また、非平衡系には、熱平衡からわずかなずれを持つ線形の非平衡系と、それが許されない非線形の非平衡系があります。

量子統計力学

最後に、場の量子論を用いた統計力学が発展し、松原武生により温度グリーン関数が導入されたことから始まりました。これにより量子統計力学の枠組みが確立され、さまざまな物理現象の解析に寄与しています。

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