球対称函数

数学の分野で「球対称函数」あるいは「動径函数」と呼ばれるものは、空間内の点の位置のうち、原点からの距離（動径）のみによってその値が決まり、方向（偏角）には左右されない性質を持つ函数を指します。これは、n次元ユークリッド空間 $R^n$ 上の函数 f に対して、その値 f(x) が、点 x の原点からの距離 $|x|$ のみの関数 $\varphi(|x|)$ として表現できることを意味します。

例えば、平面 $R^2$ 上で定義された函数 $\Phi$ が球対称であるとは、ある一変数非負値函数 $\varphi$ を用いて $\Phi(x, y) = \varphi(\sqrt{x^2 + y^2})$ という形で表されることを言います。ここで $\sqrt{x^2 + y^2}$ は点 (x, y) の原点からの距離です。

球対称函数の最も重要な特徴は、その函数が原点を中心とする任意の回転変換に対して不変であるという点です。つまり、n次元ユークリッド空間 $R^n$ 上の函数 f が球対称であることは、n次元特殊直交群 $SO(n)$ に属する任意の回転 $\rho$ に対して $f(x) = f(\rho(x))$ を満たすことと同値です。この回転不変性は、球対称性を定義する別の方法としても用いられ、より一般化されたシュヴァルツ超函数の球対称性もこの考えに基づいて定義されます。

数学において、球対称函数は主に方向成分に依存する「球面函数」と対照的な概念として位置づけられます。ユークリッド空間上で定義された十分滑らかで急速に減衰するような任意の函数は、「体球面調和展開」と呼ばれる方法によって、球対称成分（動径成分）と球面的成分（方向成分）からなる級数に分解できることが知られています。

任意の函数 f が与えられたとき、その函数の球対称成分（動径成分）は、原点を中心とする同じ距離を持つ球面上の函数の平均値を取ることで得られます。具体的には、局所可積分な函数 f に対して、点 x におけるその球対称成分の値 $\varphi_f(x)$ は、原点から点 x までの距離 $r = |x|$ が等しい $(n-1)$次元球面 $S^{n-1}$ 上での f の値の平均として以下のように表されます。

$\varphi_f(x) = \frac{1}{\omega_{n-1}} \int_{S^{n-1}} f(rx')\,dx' \quad (r = |x|, x' = x/r)$

ここで $\omega_{n-1}$ は $S^{n-1}$ の表面積です。この操作は、フビニの定理によって、ほとんど全ての距離 r において矛盾なく定義されます。

球対称函数は、フーリエ解析の分野で非常に重要な役割を果たします。その理由の一つは、球対称函数のフーリエ変換が再び球対称になるという性質を持つからです。この性質は、解析的な問題を扱う際にしばしば有効です。さらに、一般的に球対称函数は、そうでない函数に比べて、フーリエ変換後の値が無限遠でより速く減衰する傾向があります。特に、原点付近で値が有限であるような球対称函数のフーリエ変換は、動径Rに対して $R^{-(n-1)/2}$ よりも速いオーダーで小さくなることが知られています。

また、「ベッセル函数」と呼ばれる特殊な函数群は、ラプラス作用素の球対称な固有函数として自然に現れる球対称函数の代表例です。これらは、フーリエ変換の球対称部分を理解する上で中心的な役割を果たします。

このように、球対称函数は距離のみに依存する単純な構造を持ちながら、回転不変性やフーリエ変換との関係など、解析学において多岐にわたる重要な性質を示し、様々な数学的概念と結びついています。

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