環上の多元環

数学において、「代数（algebra）」あるいは「多元環（たげんかん）」と呼ばれる概念は、線形代数や環論と密接に関連しています。特に、体上の線形空間に積の構造を加えたものが代数として知られていますが、この概念をより一般的な環論の枠組みに拡張したものが、可換環上の代数です。

ここでは、単位元を持つ可換環Rを基盤として考えます。このR上の多元環、すなわちR-algebraとは、R-加群Aに対して、Aの要素間の乗法として働く双線型な二項演算を備えたものです。

具体的に定義すると、まずAはR上の加群でなければなりません。これは、Aがアーベル群であり、Rの要素（スカラー）によるスカラー倍が定義され、Rの分配法則やAの加算、スカラー倍の結合性が成り立つ構造です。

次に、Aの元同士の乗法が定義されます。この乗法を例えば「・」と書くと、この演算はAからAへの写像 ・: A × A → A であり、以下の「双線型性」という重要な性質を満たす必要があります。

双線型性とは、Rの任意のスカラーa, bとAの任意の元x, y, zに対して、次の二つの条件が成り立つことを指します。

1. 左線型性: (ax + by) ・ z = a(x ・ z) + b(y ・ z)
2. 右線型性: z ・ (ax + by) = a(z ・ x) + b(z ・ y)

これは、一方の変数を固定したときに、もう一方の変数に関して加法とスカラー倍が保たれるという性質です。体上の線形空間における双線型写像の概念を、可換環上の加群に拡張したものと考えることができます。

結合多元環

多元環Aにおいて、定義された乗法が結合法則を満たす場合、すなわち任意のx, y, z ∈ Aに対して(x ・ y) ・ z = x ・ (y ・ z)が成り立ち、さらに乗法に関する単位元が存在する場合、これを特に「結合多元環（associative algebra）」と呼びます。

結合多元環は、それ自体が環としての構造を持っています。これは、多元環の乗法が結合的であり、単位元が存在し、加法と乗法に関して環の公理を満たすためです。このように、結合多元環は環の概念をより広い視点から捉え直したものとも言えます。

R上の結合多元環は、Rからその多元環A自身への環準同型fが存在し、かつその準同型fの像がAの中心に含まれるような環Aとして定義することも可能です。この環準同型fは、RのスカラーをAの中で対応する要素に「埋め込む」役割を果たし、多元環のスカラー倍を定義する際に利用されます。

関連概念

多元環には様々な種類があります。上で述べた結合多元環の他に、乗法が可換である可換多元環、結合性は満たさないが特定の条件（ヤコビ恒等式など）を満たすリー環などが重要な例として挙げられます。

数学における代数は、群、環、体といった基本的な代数構造に加えて、より豊かな構造を持つ対象を研究する上で不可欠な概念です。特に環論や代数幾何学などの分野で広く用いられています。

例えば、分解型双四元数なども結合多元環の一例として挙げられます。

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