二項演算

二項演算についての概説

数学における二項演算は、主に二つの数や対象を操作して新たな数又は対象を得るための一般的な手法を表現しています。この概念は、数の四則演算（加算、減算、乗算、除算）を広く一般化したものであり、様々な数学的構造の中で重要な役割を果たします。

定義と基本概念

二項演算は集合 A 上で定義され、2変数の写像として表現されます。これを式で表すと、次のようになります：

$$
ext{μ} : A × A → A; \, (x, y) ↦ μ(x, y)
$$

この場合、μはAにおける二項演算を示し、A上の任意の2つの要素 x と y に対して、演算 μ を適用すると、結果として新たな対象 μ(x, y) が得られます。この結果は、通常「xとyの積」や「結合」と呼ばれ、記法は中置記法で表されることが多いです。例えば、x μ yという形で示され、混乱を避けるために単にxyと表記されることもあります。

また、もしA × A上の写像 g がA に対して閉じている場合、すなわちgの結果が再びAに属するならば、A はgにおいて閉じていると言います。これに基づき、特定の演算がAのすべての元に対して同じ構造を持つことが求められます。この観点から、部分集合Sが全体の集合Aの部分構造として機能するためには、SがAにおける演算を保持し、同じ代数的性質を持つ必要があります。

二項演算の性質

二項演算の研究においては、結合律、可換律、分配律といった重要な性質が関与します。これらの性質が成立しているかどうかを考えることで、二項演算やその関係を分類することができます。例えば、結合律が成立する場合、二項演算の順序を入れ替えても結果が変わらないことを意味します。また、可換律は、引数の順番を変更しても結果が同じままであることを示します。

さらに、二項演算とその演算子が形成する組み合わせは、数学におけるさまざまな代数的構造を構築する土台となります。特に、台集合 A とその上に定義された二項演算 μ の組は「マグマ」と呼ばれます。このマグマに条件が付加されると、半群や環、アーベル群などといった多様な代数的構造が現れます。

外部二項演算と内部二項演算

外部二項演算とは、２つの異なる集合間の作用を描く場合に用いることができる概念です。具体的には、集合AとBがあった時、BがAにどのように作用するかを示す演算 μ を考えることができます。これに対して、内部二項演算は、集合A自身の元たち同士に対してのみ定義される二項演算です。

外部二項演算が定義されると、それに対して異なる構造を持つ単項演算が得られることがあります。これにより、外部二項演算がA上の様々な演算に帰着できるため、代数的構造を理解する上で非常に便利です。このように、外部と内部の二項演算の区別は、数学的な考察を深める上で重要な要素となります。

まとめ

二項演算は、数学の中で非常に基本的かつ重要な概念で、数や対象を結合することによって新しい対象を得るための手法です。多様な代数的構造とその特性を考えることで、数学的な理論の根底を理解し、さらなる数理的探求が可能になります。関係する概念や演算がどのように相互作用するのかを探求することは、数学の魅力の一部と言えるでしょう。

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