百五減算

百五減算とは

百五減算（ひゃくごげんざん）とは、与えられた余りの値から未知の数、具体的には0から104の整数を求める和算の一種です。この方法は主に、数を3、5、7で割った際の余りを用いて元の数を算出します。計算を行う際には、各余りに特定の係数を掛け、それらの合計を求めることで、元の数を解き出し、そこから105で割った余りを算出します。実際の計算は、105未満になるまで105を引くことによって行われます。

具体的な計算方法

百五減算の具体例を見てみましょう。例えば、ある人に年齢を尋ねるとします。この場合、次のように余りを聞きます。

1. 「あなたの年齢を3で割った余りは？」
2. 「あなたの年齢を5で割った余りは？」
3. 「あなたの年齢を7で割った余りは？」

仮に、質問した結果が以下のようになったとします。

• - 3で割った余り: 1
• - 5で割った余り: 4
• - 7で割った余り: 5

この情報を元に、次のような計算を行います。各余りに対してその係数を掛け、合計します。

• - 計算式:

1 × 70 + 4 × 21 + 5 × 15 = 229

次に、229から105を引いていくことで、105で割った余りを求めます。

• - 計算過程:

- 229 - 105 = 124
- 124 - 105 = 19

この結果から、相手の年齢は「19歳」と予想することができます。もちろん、この計算結果から他の年齢、例えば124歳や229歳である可能性も残りますが、相手の見た目や状況を考慮すれば、ある程度の推測が可能です。

百五減算の基礎

百五減算の理論的背景には、合同式の考え方があります。もし3で割った余りをa、5で割った余りをb、7で割った余りをcとすると、元の数xは次のように表されます。

• - \(x ≡ 70a + 21b + 15c \ (mod \ 105)\)

また、xから105を引いたものも解として成り立つため、別の表現として次のような合同式も成り立ちます。

• - \(x ≡ -35a + 21b + 15c \ (mod \ 105)\)

このように、単に余りを知る数が3、5、7でなくとも、相互に素な数の組み合わせを使用することで、同様の合同式が構築できる点が重要です。このプロセスは、中国剰余定理と呼ばれる数学的な結果に基づいています。

文献と歴史

百五減算に関する歴史的背景を知るには、吉田光由の著書『塵劫記』が参考になります。この中では、百五減算を用いた問題とその回答が詳細に説明されています。著者は、数の性質を巧みに利用し、具体的な数字を通じて解答を導き出しています。この問題は現代のパズルやゲームにも応用されており、数学の面白さを示す良い例となっています。

百五減算は、特に教育や学習の一環として利用することで、数学に対する興味を引き出す助けともなるでしょう。

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