真の算術

真の算術

真の算術とは、一階ペアノ算術の文法を用いて自然数に関する理論を構築することを指します。これは、数理論理学における重要な概念であり、命題の真偽を自然数の集合 \( \mathcal{N} \) に基づいて評価します。この理論は、アルフレド・タルスキによる定義不可能性定理によって特に注目されてきました。

定義とモデル

真の算術に関連するペアノ算術のシグネチャは、加法、乗法、後者関数を含む関数記号、さらに「等しい」と「より小さい」という関係記号、および0を表す定数を含みます。これにより、構造としての自然数のモデル\( ext{N} \)が定義されます。このモデルは自然数の集合から構成され、各関数記号は通常の算術演算を反映します。

このモデルにおいて文が真であるとは、構造\( ext{N} \)の下での声明が実際に自然数の間で成立することを意味します。文\( \phi \)がこのモデルにおいて真であることは、\( \text{N} \models \phi \)という表記を用いて表されます。

真の算術\( \text{Th} (\mathcal{N}) \)は、構造\( \mathcal{N} \)において真であるすべての文の集合と定義され、これは\( \mathcal{N} \)の完全な理論と同一視されます。

定義不可能性の理論

真の算術における重要な結果の一つは、タルスキの定義不可能性定理です。この定理は、真の算術の文が算術的に定義できないことを述べています。具体的には、「万能論理式」と呼ばれる型の文が存在せず、任意の文\( \theta \)に対して、\( \text{N} \models \theta \)が成り立つとき、\( \text{N} \models \phi (#(\theta)) \)が成り立たないような状況です。

ここで、\( # \)は文の正規ゲーデル番号を示し、文の特定の性質を数理的に抽出する作業が行われます。この結果は、タルスキと同時代のポストの定理へと繋がり、算術的階層における部分集合との関連性を示しました。

チューリング次数と計算可能性

ポストの定理によると、真の算術のチューリング次数は0ωです。これにより、真の算術が決定可能でも帰納的可算でもないことが明らかになりました。この状況は自然数における算術的な性質を示す興味深い点です。

主張されるように、任意の文に対して、ある無限の計算可能な解釈が存在する時、算術的に定義されることができないという見解もあります。したがって、真の算術に対して特定の関係性を持つ他の理論との関連性が浮き彫りにされます。

モデルの性質

モデル理論において、真の算術は不安定な理論であるとされ、そのため無限の様々な濃度\( \kappa \)に対して、ことなる数のモデルを持つことが示されています。この理論は完全であり、すべてのモデルが初等的に同値であるという性質も持っています。

結論

真の算術は一階ペアノ算術の枠組みの中で重要な役割を果たしており、数理的な論理の世界での基礎的な理論の一つです。その研究は定義不可能性、計算可能性、モデル理論など、多角的な視点からの探求を促しており、数学や論理学の理解を深める上で欠かせないものとなっています。

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