タルスキの定義不可能性定理

タルスキの定義不可能性定理

タルスキの定義不可能性定理（Tarski's undefinability theorem）は、1933年にアルフレト・タルスキによって提唱され、数理論理学や形式意味論における重要な限界を示す結果です。この定理の核心は、算術的な真理を算術自体の中で定義することができないという主張にあります。一見すると簡単に思えるこの問題は、実は数学の基礎に深い影響を及ぼす内容を含んでいます。

歴史的背景

この定理は、1931年にクルト・ゲーデルが発表した不完全性定理の延長線上に位置しています。ゲーデルの不完全性定理は、自己言及を介して真理の概念を形式化できないことが根幹にあります。ゲーデルは、自身の論文で算術の構文を特定の方式で表現する方法を示し、特定の数式の集合や、算術文のコードを構成する技術を開発しました。このように、ここで説明するタルスキの定義不可能性定理は、その後の数学論理の研究において非常に重要なものとなりました。

タルスキは彼のモノグラフ『The Concept of Truth in the Languages of the Deductive Sciences』の中で、この定理を詳しく説明しています。興味深いことに、彼は自身が同行していたポーランドの聴衆にこの概念を早くから伝え、後に1933年のモノグラフにおいて詳しい議論を展開しています。

定理の主張

まず、タルスキの定理を簡潔に紹介します。一階算術の語彙を L とし、N をその標準構造とします。この構造は通常の自然数とその上の加法・乗法から構成されます。L の各式は、その標準構造 N において真偽が決定されます。そして、T を N において真となるような L の文の集合、T をその文のゲーデル数の全体とします。この定理の要点は、「T が一階算術の式で定義できるか」という問いにあります。

定理は、一般に一階算術における真理の概念は一階の式によって定義することができないと示しています。これは、言語自身が自己言及できる程度を越えていることを意味します。例えば、従来の一階算術によって真理を表現することはできず、必然的にメタ言語を用いる必要があります。このメタ言語は、より強力な表現能力を有し、一階算術内では表現できない概念を含んでいます。

一般的な形と証明

タルスキは形式的な手法を用いて、この定理を一般化し、多くの形式言語に適用できる強い定理を証明しています。一階算術はその一例として機能しますが、ZFC（ツェルメロ・フレンケル集合論）など、さらなる一般的な形式体系にもこの定理は適用可能です。

タルスキの定理は背理法によっても証明可能です。もしTが算術的に定義可能であると仮定すれば、特定の自然数n の下でTは算術的階層のレベルを持つことになります。しかし、T*は全てのkに対して、さらに高い制約を受けることから、矛盾が生じることになります。

議論と意義

タルスキの定義不可能性定理は、その構造において非常に初歩的な仕組みを持つものの、深淵な哲学的意義があります。この定理は、全ての形式言語には内在的に限界が存在し、真理を自己言及的に定義することができないことを示しています。そのため、タルスキの定理は数学的構造の根底にある哲学的問題に対する洞察を与え、他の多くの理論と関連付けられる重要なテーマとなっています。

このようにして、タルスキの定義不可能性定理は数理論理学の基盤に重要な貢献をしています。形式的な枠組みにおける真理の限界を探求することは、数学そのものの理解を深めることに繋がります。タルスキの理論は、今後の数学及びその哲学的側面においても多くの人々を惹きつけることでしょう。

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