矩形関数

矩形関数：定義と性質

矩形関数 (rectangular function) は、信号処理や画像処理において基礎となる重要な関数です。その定義はシンプルですが、フーリエ変換との関係や様々な応用において重要な役割を果たします。

定義

矩形関数は、引数の絶対値が 1/2 より小さい範囲で 1 を、それ以外の範囲で 0 を取る関数として定義されます。ただし、|t| = 1/2 の点における関数の値については、定義によって 0、1/2、あるいは未定義とされる場合があります。本稿では、|t| < 1/2 のとき 1、|t| > 1/2 のとき 0、|t| = 1/2 のとき 1/2 とします。

数式で表すと以下のようになります。

rect(t) = { 1 (|t| < 1/2)
{ 1/2 (|t| = 1/2)
{ 0 (|t| > 1/2)

この関数は、幅1、高さ1の長方形を表現していることから矩形関数と呼ばれます。

ヘヴィサイドの階段関数による表現

矩形関数は、ヘヴィサイドの階段関数 u(t) を用いて以下のように表現することもできます。ヘヴィサイドの階段関数は、引数が 0 より大きいとき 1、0 以下のとき 0 を取る関数です。

rect(t) = u(t + 1/2) - u(t - 1/2)

これは、t = -1/2 で 1 にジャンプし、t = 1/2 で 0 に戻る階段関数の差として矩形関数を表現しています。

また、以下のように表現することも可能です。

rect(t) = u(t + 1/2) u(1/2 - t)

これは、二つのヘヴィサイドの階段関数の積として矩形関数を表現する方法です。

さらに、極限を用いた表現方法もあります。

rect(t) = lim (n→∞) 1 / (1 + |2t|^n)

この式は、n を無限大に近づけることで、|t| < 1/2 のとき 1、|t| > 1/2 のとき 0 に近づくことを示しています。

フーリエ変換

矩形関数のフーリエ変換は、sinc 関数（正弦関数と引数の比）で表されます。

フーリエ変換は、時間領域の信号を周波数領域に変換する操作であり、矩形関数のフーリエ変換は、その周波数スペクトルを表します。

具体的には、以下のようになります。

∫(from -∞ to ∞) rect(t) e^(-i2πft) dt = sin(πf) / (πf) = sinc(f)

ここで、sinc(f) は正規化された sinc 関数です。 この結果は、矩形波の周波数スペクトルが sinc 関数で表されることを示しています。

関連関数

矩形関数と関連する関数として、三角形関数 (tri(t)) があります。三角形関数は、2つの矩形関数の畳み込みとして定義されます。

この畳み込み演算は、矩形関数を時間軸上で重ね合わせ、その積分を求めることで得られます。

tri(t) = rect(t) * rect(t)

確率分布関数としての矩形関数

矩形関数を確率密度関数とみなした場合、その特性関数 φ(k) と積率母関数 M(k) は以下のように表されます。

φ(k) = sin(k/2) / (k/2)

M(k) = sinh(k/2) / (k/2)

ここで、sinh(t) は双曲線正弦関数です。これらの関数は、確率分布のモーメントを計算する際に用いられます。

まとめ

矩形関数は、その単純な定義とは裏腹に、信号処理、画像処理、そして確率論など、様々な分野で重要な役割を果たす関数です。そのフーリエ変換、関連関数、確率分布としての性質などを理解することで、より深くその応用を理解することができます。

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