確率の公理

コルモゴロフの公理

コルモゴロフの公理は、1933年にアンドレイ・コルモゴロフによって発表され、確率論の基盤を築くものとして広く認識されています。これらの公理は、確率の理論と応用を可能にするため、さまざまな分野で使用されています。たとえば、数学や物理科学における現象の理解において不可欠なツールとなっています。また、コルモゴロフの公理によって、後に確率論の発展が支えられました。

コルモゴロフの公理

コルモゴロフは、確率の構造を定式化するために、次の三つの要素および条件を設定しました。この公理系は、次のように記述されます。

1. 根元事象の集合（Ω） では、基本的な事象の集合が定義されます。
2. 事象空間（F） がこの根元事象の部分集合から成り、その各要素が「事象」と呼ばれます。これにより、確率論で扱う事象の集合が形成されます。
3. 確率関数（P） は、この事象空間上に定義された集合関数で、特定の条件を満たす必要があります。この関数は、各事象に対して確率の値を割り当てます。

この公理系は

$$(Ω, F, P)$$

という形式で表され、その要素は次の5つの公理を満たさなければなりません。

コルモゴロフの公理の内容

1. 事象空間 F は有限の要素による和、差、共通部分に関して閉じています。これにより、事象の組み合わせも事象として扱われます。
2. Fは、根元事象の集合 Ω を含んでいます。すなわち、Ωが必ず事象となります。
3. 確率関数 Pは、非負の実数値を取ります。つまり、PはFから実数にマッピングします。
4. 全ての事象が起こる確率は1であるため、P(Ω) = 1 です。
5. 互いに素な事象 A と B がある場合、P(A ∪ B) = P(A) + P(B) が成り立ちます。この性質は、独立事象の加法性を表しています。

さらに、根元事象の集合が無限の場合には、次の条件も満たす必要があります。
6. 減少する事象の列が存在する場合には、その共通部分の確率は0になります。

一般化加法定理

これらの公理から、一般化加法定理が導かれます。これは、非負かつ完全加法的な確率関数が、完全加法族上に一意的に拡張されることを示しています。この基本的な確率の考え方は、他の数理科学の分野や実際のデータ解析にも応用されています。

現在の理解

現代においては、コルモゴロフの公理は次のように要約されます：

• - 根元事象の集合 Ω は任意の集合であり、
• - 事象空間 F は Ω 上の完全加法族（σ-集合体）であり、
• - 確率関数 P がFに対する集合関数として働く場合、P が特定の条件を満たすことで確率測度として成立します。

確率の性質

これにより、確率は0から1の範囲にあり、確率論の根本的な法則が導かれます。また、単調性、空集合の確率、余事象の法則など、多くの重要な性質や結果も明らかにされています。これらは、コルモゴロフの公理を基にして証明され、確率論における非常に重要な結果となっています。

具体的な例

コイン投げのようなシンプルな例を用いて、コルモゴロフの公理の適用を示すと、根元事象の集合は {H, T} となり、事象の確率は以下のように定義されます。

• - 表（H）にも裏（T）にもならない確率は0（P(∅) = 0）
• - 表か裏のいずれかが起こる確率は1である（P({H, T}) = 1）
• - 表が起こる確率と裏が起こる確率の合計は1となる（P({H}) + P({T}) = 1）

全体として、コルモゴロフの公理は、確率論の基本原則を示すものであり、リアルな現象を定量的に把握するための道を開きました。

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