等差数列

等差数列の概要

等差数列とは、隣接する項同士の差が一定である数列のことを指します。このような数列の初項を \(a_0\)、隣接する項の差（公差）を \(d\) とした場合、数列の一般項は次のように表されます。

\[ a_n = a_0 + n d \]

また、別の書き方として、初項 \(a_m\) から任意の項 \(a_n\) を求める公式は次のようになります。

\[ a_n = a_m + (n - m) d \]

例

具体的な例として、等差数列 \(5, 7, 9, \ldots\) の場合を考えましょう。この数列の初項は \(5\)、公差は \(2\) です。また、別の例として \(1, 7, 13, \ldots\) があります。この場合、初項は \(1\) で、公差は \(6\) です。

和と算術級数

等差数列の合計を求めたものは算術級数と呼ばれます。有限等差数列の初項から第 \(n\) 項までの和 \(S_n\) は次の公式で計算できます。

\[ S_n = \sum_{k=0}^{n} a_k = (n + 1) \frac{a_0 + a_n}{2} \]

ここで、\(a_n\) は数列の最後の項です。この式により、数列の和は初項と末項の平均に項数を掛け算することで得られます。たとえば、初項が \(5\)、項数が \(5\) （すなわち \(n = 4\) のとき）の場合、和は次のようになります。

\[ S_4 = 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 45 \]

公式を用いると、\(S_4 = (4 + 1) \cdot \frac{5 + 13}{2} = 5 \cdot 9 = 45\) となります。

初項と公差を用いた式

初項 \(a_0\) を使って和を求める式と、末項を使う式については次のように展開できます。

初項の場合

\[ S_n = a_0 + (a_0 + d) + (a_0 + 2d) + \ldots + (a_0 + nd) \]

末項の場合

\[ S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + \ldots + (a_n - nd) \]

これらの式を使い、左辺の和を2倍すると、右辺の項から公差が消去される様子が見られます。最終的に求まるのは

\[ 2S_n = (a_0 + a_n) + \text{（公差の項）} \]

となります。

総乗

等差数列の初項 \(a_0\) と公差 \(d\) の元から、初項から第 \(n\) 項までの総乗 \(P_n\) は次のように表されます。

\[ P_n := a_0 \cdot a_1 \cdots a_n = d^{n + 1} \left( \frac{a_0}{d} \right)^{\overline{n + 1}} \]

ここで、\( \overline{n} \) は上昇階乗です。この公式を使用すると、数列の各項の積を計算することが可能です。

共通項

無限等差数列が2つある場合、これらの共通する項を並べた数列を考えることができます。この数列は空数列であるか、新たな等差数列となります。この結果は中国の剰余定理から示されます。

まとめ

等差数列は、数学の基礎のひとつであり、私たちの日常生活や様々な分野の問題解決に広く利用されています。和や総乗の計算方法は重要な知識となっており、理解しておくべきです。

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