総乗

総乗（そうじょう）

総乗とは、特定の集合内で定義された元の積を求める多項演算の一つです。具体的には、元の列のすべての要素を掛け合わせた結果を指します。一般的に、集合 M の元を a1, a2, …, an とした場合、その総乗は次のように表現されます。

\[
\prod_{k=1}^{n} a_k = a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n
\]

ここで、記号 \( \prod \) はギリシャ文字のパイ (Pi) を用いており、これは数学的な「積」を意味します。

集合の濃度と添え字付け

有限集合 E が与えられ、その濃度を n としたとき、E のすべての元には添え字を付けることができます。具体的には、I = {1, 2, …, n} という添え字集合を用いて、E の元を次のように列挙して行くことが可能です。

\[
\prod E = \prod_{x \in E} x = \prod_{i \in I} x_i = \prod_{k=1}^{n} x_k
\]

さらに、E の濃度が 0、すなわち空集合である場合には、空の元の列でも総乗は定義されています。この場合、空の集合に対しての総乗は次のように表され、単位元 1M を返します。

\[
\prod \emptyset = \prod_{x \in \emptyset} x = 1_M
\]

結合律に関する注意

この総乗演算が結合律を持っている場合、順番に関係なく元を掛け算しても結果は同じです。しかし、結合律が成り立たない場合は、元をどの順序で掛けるかが重要になります。その場合、部分列を利用して再帰的に定義することができます。

\[
p_1 = a_1,
\]

\[
p_{k+1} = p_k \times a_{k+1}
\]

ここで最終的に、各元の列の総乗も次のように表現することができます。

\[
p_n = \prod_{k=1}^{n} a_k
\]

このように、収束する積の定義は無限積としても広がります。特に、実数や複素数から成る無限列に対する総乗も計算可能です。これを無限乗積と呼び、次のように定義されます。

\[
\prod_{n=1}^{\infty} x_n
\]

この無限乗積が収束するためには二つの条件が必要です。まず、ある番号 m 以降、すべての項がゼロでないこと、次に、部分積が特定の値に収束することです。これらを満たすとき、無限乗積は次のように定義されます。

\[
\prod_{n=1}^{\infty} x_n = x_1 \cdots x_m P_m
\]

ここで、P_m は部分積の極限値を表します。無限乗積が収束する場合、特に、\( \lim_{n \to \infty} x_n = 1 \) などの条件が成り立ちます。

無限乗積の例

三角関数の無限乗積展開

三角関数における無限乗積の展開の例としては、次のものが挙げられます。

\[
\sin \pi z = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{z^2}{n^2} \right)
\]

\[
c \cos \pi z = \prod_{n=1}^{\infty} \left\{ 1 - \frac{z^2}{(n - \frac{1}{2})^2} \right\}
\]

また、オイラーの定理に関連した乗積定義や、ガンマ関数、さらにはウォリスの積なども考慮されています。

まとめ

総乗は、数理的に様々な場面で重要な役割を果たし、その理解は数学の他の分野や応用においても極めて重要です。特に、無限乗積の概念は、収束性の判定などにおいて非常に繊細な判断を要求します。

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