絶対値

絶対値とは

数学における実数の絶対値は、その数の符号を無視した非負の数から成り立っています。具体的には、ある実数 x に対してその絶対値 |x| は次のように定義されます。

• - 正の数の場合: |x| = x
• - 負の数の場合: |x| = -x（ここで -x は正の値）
• - ゼロの場合: |0| = 0

この定義により、例えば 3 の絶対値は 3 であり、-3 の絶対値もまた 3 となります。したがって、数の絶対値はその数がゼロからどれだけ離れているかという距離を表していると理解することができます。

拡張された絶対値の概念

実数の絶対値は、複素数、四元数、順序環など、様々な数学的設定においても一般化されて定義されます。これによって、絶対値に関連する多くの概念が扱われ、例えば大きさ（magnitude）や距離、ノルムといった概念も含まれます。

用語の歴史

絶対値を表現する用語は、1806年にジャン・ロベール・アルガンによって導入された「モジュール(module)」に由来します。この単語はフランス語で「測る単位」を意味し、後にラテン語の「modulus」として英語に採用されました。また、縦棒で数を括る記法 |x| は1841年にカール・ヴァイアシュトラスによって提案されました。

さらに、他にも数値(numerical value)や大きさ(magnitude)といった名称で呼ばれることもあります。

定義

実数の絶対値は次のように定義されます:

• - |x| := max{x, -x}

また、これは「ゼロからの距離」としても表現できます:

• - |x| := √(x²)

この2つの定義は実数に対して互いに同等です。

絶対値の性質

絶対値にはいくつかの重要な性質があります。任意の実数 a, b に対して以下が成り立ちます:

1. 非負性: |a| ≥ 0
2. 非退化性: a = 0 のときのみ |a| = 0
3. 偶性: |−a| = |a|
4. 劣加法性: |a + b| ≤ |a| + |b|

これらの性質は、距離関数が満たす性質とも深く関わっています。

更なる性質

さらに、以下の性質も成り立ちます:

• - 冪等性: ||a|| = |a|
• - 乗法性: |ab| = |a|・|b|

絶対値を用いた不等式も有用です。特に、次のように表現できます:

• - |a| ≤ b ⟺ -b ≤ a ≤ b
• - |a| ≥ b ⟺ a ≤ -b または b ≤ a

例えば、|x - 3| ≤ 9 は -9 ≤ x - 3 ≤ 9 と解釈できます。

絶対値の関数特性

絶対値関数は連続性と微分可能性を持っています。xが0の場合を除き、全ての実数に対して微分可能であり、こちらの導関数は次のように表されます:

• - d|x|/dx = 1 (x > 0)
• - d|x|/dx = -1 (x < 0)

このように、絶対値は偶関数であり、逆関数を持たない特徴もあります。全体として、絶対値関数は区分線形であり、冪等性も示します。

絶対値の実用例

絶対値は数学の様々な分野で利用されており、特に距離や範囲の計算において非常に重要です。例えば、数直線上の二つの点 x, y の距離は |x - y| で計算でき、様々な数学的問題の解決に役立ちます。絶対値の概念はそこから生じるノルムやその他の幾何的な性質とも関連しており、より高次の数学的議論においても基本的な役割を果たします。

結論

実数の絶対値は基本的でシンプルな概念でありながら、数学と物理の多くの場面で重要な役割を担っています。同时、様々な数学領域における数の大きさや距離を扱う際には欠かせない概念です。

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