箙 (数学)

箙（クイバー）の概要

数学の中でも特に結合代数の表現論において、箙（えびら）またはクイバーと呼ばれる概念があります。この概念は、有向グラフの一種であり、多重辺とループを持つことが可能です。箙は1972年にP. Gabrielによって導入され、有向グラフの構造を用いて代数的オブジェクトの性質を探る上で非常に便利なツールとなっています。

箙の定義

箙は、集合V（頂点）、E（辺）および2つの写像s, t: E → Vにより定義される組Q = (V, E, s, t)によって表されます。このとき、集合Vの元を「頂点」、Eの元を「辺」または「矢」と呼び、各辺α ∈ Eについて、s(α)が始点、t(α)が終点となります。

箙Qが有限であるためには、頂点集合V及び辺集合Eが共に有限集合でなければなりません。また、各頂点に入出する辺の数が有限の場合は「局所有限」と呼ばれます。このような構造は、数学的な解析や代数の解明において重要です。

道（パス）と道代数

箙内での「道」とは、辺の系列α1, …, αnが条件t(αi) = s(αi + 1)を満たすときに形成されます。この道は、始点aと終点bを持ち、具体的に(a|α1, …, αn|b)という形で表記されます。特に、0の長さを持つ道は自明な道と見なされ、その始点と終点は同じ頂点に設定されます。

道代数は、箙Qに基づいて自由線型空間kQを構造として持っています。ここで、道同士の積は始点と終点が一致する場合のみでは成立し、他の場合は零元になります。このように生成される道代数kQは、代数内部の多様な性質を探る手助けをします。

箙の表現

箙の表現は、I-次数付きのベクトル空間(Vi)i ∈ Iと、線型写像(φα: Vout(α) → Vin(α))α ∈ Ωの組で構成されています。有限次元の表現は各ベクトル空間が有限次元である場合であり、この時の次元ベクトルdim Vは、各次元を示す重要な指標となります。ここでは、表現同士の間の射は適切な整合条件を満たす必要があり、これによりアーベル圏が形成されます。

有限次元代数との関連

有限な箙Qの全ての辺から生成される道代数kQの両側イデアルをRと定義し、道代数kQの両側イデアルIが認容的であることは、特定の自然数mが存在することで示されます。代数的閉体k上の任意の有限次元代数Aは、有限な箙Qと認容的イデアルIによって商代数kQ/Iと森田同値であることが知られています。

また、ガブリエルの定理は、有限な箙の表現とディンキン図形との深い関係を示しており、両者の理解が数学的研究において重要であることを示しています。箙や道代数は、転送性や構造の観点から多角的な研究が展開されており、数学の進展に寄与しています。

参考文献

• - Assem, Ibrahim; Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej (2006). Elements of the Representation Theory of Associative Algebras 1. Techniques of Representation Theory. London Mathematical Society student texts. 65. Cambridge University Press.
• - Zimmermann, Alexander (2014). Representation Theory: A Homological Algebra Point of View. Algebra and applications. Springer.

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