森田同値

森田同値とは

代数学において、森田同値（もりたどうち、英: Morita equivalence）は、特に環の性質を考慮する際に重要な概念です。これは、環の間で保持される特定の性質を定義し、それにより環の比較を行う手法の一つです。森田同値という用語は、1958年に同値関係と双対性に関する記号を定義した森田紀一に由来しています。

動機

環は一般的に、その環上の加群を通じて研究されています。加群は環の表現手段と考えられ、任意の環 R は環の積により自動的に R加群の構造を持ちます。したがって、加群論的な視点で環を研究すると、より一般的な情報を得ることが可能です。この観点から、環 R が森田同値であるとは、Rの加群で構成される圏がSの加群の圏と同等であることを意味します。

特に、可換環の場合は、森田同値が環同型であることと同値です。反対に、非可換環においては、より複雑な関係が成り立ちます。

定義

2つの環 R および S が森田同値であるということは、左 R 加群の成す圏 R-Mod と左 S 加群の成す圏 S-Mod との間に圏同値が存在することを示します。また、右加群の成す圏 Mod-R と Mod-S が同等であることも確認でき、この特徴によって圏同値が示されます。

例

具体的な例として、同型な環は森田同値であり、任意の環 R に対し、n 次の正方行列から構成される全行列環 Mn(R) は環 R と森田同値です。これは非可換環に関するアルティン‐ウェダーバーン理論によるもので、具体的な構造を持つことが証明されています。

同値の判定法

森田同値を特定する方法もあります。適切な平衡両側加群 P が存在して、特定の条件を満たす場合、関手 F、G が森田同値を生成するための必要十分条件を満たすとされます。具体的には、関手が自然同型でなければなりません。

同値不変な性質

加群の圏において、いくつかの性質は森田同値の関手を介して保存されます。たとえば、射影的、有限生成、およびネーター的な性質は森田同値で保たれますが、自由性や巡回性といった性質は必ずしも保存されるわけではありません。言い換えれば、これらの特性がどのように保存されるのかは、個々の環や加群の性質に依存する場合があります。

まとめ

森田同値は、環上の加群の性質を通じて vasta の性質や構造を明らかにするための重要なフレームワークを提供します。そのため、環の理論的な性質を深く理解するためには、この概念をしっかりと把握することが不可欠です。

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