範疇 (数学)

範疇（はんちゅう）とその分类

数学の分野における範疇は、位相空間における部分集合を特定の基準に従って分類する方法を指します。この概念は、通常「カテゴリー」とも称されることがありますが、同名の圏とは明確に異なるものであるため、注意が必要です。

範疇の定義

位相空間を X、そしてその部分集合を A としたとき、集合 A の閉包の内部が空である場合、A は”疎”と判断されます。さらに、A が可算個の疎集合の和集合として表される場合は、A は「第 1 類」と呼ばれます。一方、そうでない場合、A は「第 2 類」と分類されます。第 1 類の集合に対するもう一つの表現として「やせた集合」という用語も存在します。

第 1 類に分類された集合の部分集合は、自動的に第 1 類に属します。また、可算個の第 1 類の集合の和集合は、再び第 1 類になります。

ベールの範疇定理

数学的な研究の中でも特に重要なのが、ベールの範疇定理です。この定理によれば、完備距離空間内の空でない開部分集合は必ず第 2 類に分類されます。この特性は、関数解析などの広範な分野で特に有用とされており、様々な応用があります。

この定理は以下のようにも表現できます：

• - 完備距離空間において、内点を持たない閉集合の可算個の和集合もまた内点を持たない。
• - 完備距離空間において、稠密な開集合の可算個の共通部分は稠密である。

ベール空間とは

私たちが次に触れるのは「ベール空間」という概念です。ベール空間とは、空でない任意の開部分集合が第 2 類に分類される位相空間のことを指します。つまり、この特性を持つ空間では、ベールの範疇定理が成り立つことが特徴です。特に、完備距離空間においては、これが妥当であることを意味しています。

また、局所コンパクトなハウスドルフ空間もベール空間の一つとして認識されています。これにより、さまざまな数学的性質や理論が、新しい視点から理解され、探求されているのです。

結論

範疇という概念は、数学的な考察の中で非常に重要な位置を占めています。特に、開部分集合を分類する方法としての役割を担い、様々な理論の基礎となっています。ベールの範疇定理は完備距離空間における特性を示しており、このような理論が数学全体にどのような影響をもたらすかを探求することは、数学的探求の大きな魅力と言えるでしょう。

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