部分集合

部分集合と包含関係：数学における集合の包含関係

数学において、集合間の包含関係は重要な概念です。この記事では、部分集合、真部分集合、そしてそれらに関連する性質について詳しく解説します。

部分集合とは？

集合Aが集合Bの部分集合であるとは、Aのすべての要素がBにも含まれている状態を指します。言い換えれば、AはBの一部または全体であるということです。この関係をA⊆Bと表記します。例えば、A={1,2}、B={1,2,3}の場合、AはBの部分集合です(A⊆B)。なぜなら、Aの要素である1と2はBにも存在するからです。

真部分集合とは？

真部分集合は、部分集合の中でも、AがBの一部であることをより明確に示す概念です。AがBの真部分集合であるとは、AがBの部分集合であり、かつAとBが等しくない(A≠B)ことを意味します。これは、AがBの要素をすべて含むだけでなく、BにはAには含まれない要素が少なくとも一つ存在することを意味します。この関係はA⊂Bと表記されます。先の例では、A={1,2}、B={1,2,3}なので、AはBの真部分集合です(A⊂B)。なぜなら、BにはAに含まれない要素3が存在するからです。

上位集合

A⊆Bであるとき、BはAの上位集合と呼ばれます。これは、BがAを含む集合であることを意味します。

記法に関する注意

部分集合と真部分集合の記法は、文献によって多少の違いがあります。A⊆BとA⊂Bを用いるのが一般的ですが、A⊂Bを部分集合、A⊊Bを真部分集合とする流儀もあります。混乱を避けるため、文脈に応じて適切な記法を選択するか、A⊆BかつA≠Bのように明示的に条件を示すことが重要です。

部分集合の基本的性質

集合S, T, Uについて、以下の性質が成り立ちます。これらの性質は、集合演算を理解する上で基礎となります。

S = TとS⊆TかつT⊆Sは同値である: 集合の要素が完全に一致する場合にのみ、互いに部分集合となります。(外延性の原理)
空集合∅はすべての集合の部分集合である: 空集合は要素を持たないため、いかなる集合にも含まれるとみなせます。
S⊆S: 任意の集合は自分自身の部分集合です。
S⊆TかつT⊆UならばS⊆U: 包含関係は推移的です。
S⊆S∪T: SはSとTの和集合の部分集合です。
S⊆TならばS∪U⊆T∪U: SがTの部分集合であれば、SとUの和集合もTとUの和集合の部分集合です。
S⊆UかつT⊆UならばS∪T⊆U: SとTがともにUの部分集合であれば、SとTの和集合もUの部分集合です。
S∩T⊆S: SとTの共通集合はSの部分集合です。
S⊆TならばS∩U⊆T∩U: SがTの部分集合であれば、SとUの共通集合もTとUの共通集合の部分集合です。
S⊆TかつS⊆UならばS⊆T∩U: SがTとUの両方を含む場合、SはTとUの共通集合の部分集合です。
S-T⊆S: SからTを除いた集合はSの部分集合です。
S⊆TならばS-U⊆T-U: SがTの部分集合であれば、SからUを除いた集合もTからUを除いた集合の部分集合です。
S⊆TかつS⊆U^CならばS⊆T-U: SがTの部分集合であり、Uの補集合の部分集合でもある場合、SはTからUを除いた集合の部分集合です。
S⊆T、S∩T=S、S∪T=T、S−T=∅ は同値である: これらの条件は、SがTの部分集合であることと同値です。
* SとTがともにUの部分集合のとき、S⊆TとU−T⊆U−Sは同値である。

冪集合

集合Bの冪集合とは、Bのすべての部分集合からなる集合族のことです。これは2^Bと表記され、Bの要素数nに対して、2ⁿ個の要素を含みます。

まとめ

部分集合と包含関係は、集合論の基礎となる重要な概念です。これらの定義と性質を理解することで、集合演算や集合論における様々な定理を理解することが容易になります。 この記事が、集合論の学習の一助となれば幸いです。

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