系 (数学)

数学における「系」（Corollary）とは

数学の分野において、「系（けい、英: corollary）」とは、既に確立された、あるいは証明済みの主要な主張、特に定理から、比較的容易に、またはその証明過程から直接的に導き出される別の主張を指す用語です。これは、ある主要な数学的成果が得られた際に、そこから自然に導かれる重要な帰結や応用を示すために用いられる概念です。

「直ちに」の基準とその主観性

系の定義における「直ちに」や「明らか」といった言葉は、厳密な論理的基準というよりは、慣習的、あるいは主観的な判断に基づいています。ある主張 B が別の主張 A の系であるとされるのは、B を A から演繹するのに、特別な新しい概念や複雑な推論を必要としない場合、あるいは A の証明を理解すれば B が自然と導かれると見なせる場合です。

しかし、「容易である」「明らかである」の判断は、その主張を提示する著者や、それを読む対象読者、さらには文脈によって大きく異なります。同じ推論であっても、ある専門家にとっては自明でも、別の専門家や学習者にとっては、ある程度の思考や補足的な説明が必要となることがあります。そのため、何が「系」として扱われるかは、発表される論文や教科書、個々の講義資料などによって異なり得ます。これは、数学における主張の分類が、単なる論理的な関係性だけでなく、その提示の仕方や受け手の理解度といった教育的・コミュニケーション的な側面にも影響されることを示しています。

重要性と位置づけ

「系」として提示される主張は、一般的に、それが導かれた元の主要な主張、例えば定理と比較して、その数学的な重要性において副次的、あるいは限定的なものであると見なされる傾向があります。これは、「系」が主要な結果の直接的な帰結や特定の応用例として位置づけられることが多いためです。もし、元の定理から導き出された新しい主張が、元の定理と同等、あるいはそれ以上の広範な応用範囲を持つか、数学理論全体においてより深い洞察をもたらすような重要性を持つと見なされる場合、その主張は「系」としてではなく、それ自体が独立した新しい定理として提示されることが一般的です。

したがって、ある結果を「系」と呼ぶか、独立した命題や定理と呼ぶかは、その論理的な導出可能性だけでなく、数学コミュニティにおけるその結果の受け止められ方や、理論体系におけるその位置づけ、重要性の評価によっても影響を受けると言えます。

証明の省略について

系の定義にある「直ちに証明される」「明らかである」という性質から、系の証明はしばしば省略される傾向があります。「証明は明らか」「これは定理Xの系である」といった記述と共に主張が述べられ、具体的な論証過程が示されないことも少なくありません。これは、主要な結果とその直接的な帰結を効率的に提示し、理論の骨子を明確に保つための慣習です。

しかし、教育的な目的や、対象となる読者が必ずしも元の定理の証明に精通しているわけではない場合、あるいは系の導出が完全に自明とまでは言えない場合には、簡潔な証明やヒントが付されることもあります。

他の概念との比較

数学における主張の分類には、定理の他に「補題（lemma）」や「命題（proposition）」といった用語もあります。補題は、それ自体が主要な結果というよりは、より重要な定理を証明するための中間段階や準備として用いられる予備的な主張であることが多いです。一方、命題は、定理ほど重要ではないものの、ある程度の独立した意義を持つ主張に対して用いられることがあります。系は、既に確立した主要な結果（定理など）から直接得られる「収穫物」としての性格が強く、他の概念とはその位置づけにおいて区別されます。

まとめ

「系」は、数学において主要な定理などの結果から容易に導かれる主張であり、その重要性は元の主張より低い傾向があります。その定義に含まれる「直ちに」といった言葉は主観的な要素を含み、文脈によって解釈が異なります。証明は省略されることが多いですが、これは主要な結果とその派生的な帰結を効率的に提示するための慣習です。「系」という概念は、数学理論の構造を整理し、主要な結果の意義や応用を明確にする上で重要な役割を果たします。

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