素数階乗

素数階乗について

素数階乗（そすうかいじょう、英: Primorial）は、特定の自然数に対して、その数以下の素数全てを掛け合わせた計算結果を指します。記号で表すと、自然数 n の素数階乗は n# で示されます。特に2以上の自然数に対して定義され、以下のように求めることができます。

素数階乗の例

• - 2# = 2
• - 3# = 3 × 2 = 6
• - 4# = 3# = 6
• - 5# = 5 × 3# = 30
• - 6# = 5# = 30

このように、素数階乗は n 以下の最大の素数を p とし、p# に等しいことが分かります。具体的には、以下の素数階乗の列が得られます：

• - 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, …

数学的特性

素数階乗には特有の数学的性質があります。特に興味深いのは、5# 以上の素数階乗の一の位が常に0であり、十の位は1、3、7、または9のいずれかに限る点です。これにより、素数の無限性を示す証明にも用いられることがあります。

無限の素数の証明

この証明は最大の素数の存在を仮定し、もし存在するとした場合、その素数を pmax と表します。このとき、pmax# + 1 は pmax 以下の素数では割り切れません。したがって、pmax# + 1 は 1 と自分自身を除く因数を持たないことが確認できます。結果として、pmax# + 1 は素数である必要があり、これは pmax が最大の素数という仮定に矛盾します。これにより、最大の素数は存在しないことになります。

実際の計算では、素数 p に対して p# + 1 が素数である場合や、合成数である場合も見られます。例えば、11# + 1 = 2311 は素数ですが、13# + 1 = 30031 = 59 × 509 は合成数です。それにもかかわらず、p# + 1 の素因子はすべて素数 p よりも大きいです。

高度合成数と素数階乗

全ての高度合成数は、素数階乗数の累乗数の積として表すことができます。例えば、720 は 22 × 61 × 301 という形で表現されます。

素数階乗数の一覧

素数階乗数の最初の10個を以下に示します：
1. p01# = 2# = 2
2. p02# = 3# = 6
3. p03# = 5# = 30
4. p04# = 7# = 210
5. p05# = 11# = 2310
6. p06# = 13# = 30030
7. p07# = 17# = 510510
8. p08# = 19# = 9699690
9. p09# = 23# = 223092870
10. p10# = 29# = 6469693230

次の10個の素数階乗は以下の通りです：
11. p11# = 31# = 200560490130
12. p12# = 37# = 7420738134810
13. p13# = 41# = 304250263527210
14. p14# = 43# = 130827613331670030
15. p15# = 47# = 614889782588491410
16. p16# = 53# = 325891584777190044730
17. p17# = 59# = 192276035015421263907
18. p18# = 61# = 117288381359406970983270
19. p19# = 67# = 785832155108026755879090
20. p20# = 71# = 557940830126698960967415390

このように、素数階乗は数学において非常に重要な概念であり、数の性質を深く理解する手助けとなります。

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