高度合成数

高度合成数について

高度合成数（こうどごうせいすう、英: highly composite number）は、特定の性質を持つ自然数を指します。具体的には、ある高度合成数未満のすべての自然数の中で、最も多くの約数を有する数です。そのため、高度合成数は約数の個数が他の自然数に対して優越しています。

高度合成数の列

高度合成数は次のように列挙できます。最初の数は以下の通りです。

• - 1
• - 2
• - 4
• - 6
• - 12
• - 24
• - 36
• - 48
• - 60
• - 120
• - 180
• - 240
• - 360
• - 720
• - 840
• - 1260
• - 1680

たとえば、24の約数は1、2、3、4、6、8、12、24の8個であり、24未満の自然数ではその約数の数が8個以上あるものは存在しません。このことから、24は高度合成数であることが確認できます。なお、1および2は合成数ではないものの、高度合成数として含まれています。

素因数分解との関係

高度合成数の約数の個数はその素因数分解によって求められます。たとえば、15120は以下のように素因数分解されます。

15120 = 2^4 × 3^3 × 5 × 7

この場合、約数の個数は次のように計算されます。

(4+1) × (3+1) × (1+1) × (1+1) = 80

この計算により、15120は80個の約数を持ち、これは高度合成数の一例と言えます。

概要

高度合成数の考え方は、インドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンによって考案されました。その特徴として、無限に存在することが挙げられます。これは、正整数の正の約数の個数は無限大になる可能性があるためです。高度合成数は次の形で表されます。

2^a2 × 3^a3 × 5^a5 × ... × p(b)^{a_{p(b)}}

ここで、aは各素因数の指数であり、p(b)は2から数えてb番目の素数を指します。また、高度合成数は次の不等式を満たす必要があります。

a2 ≥ a3 ≥ ... ≥ a_{p(b)}

さらに、高度合成数には2からp(b)までのすべての素数が含まれます。また、4と36以外の高度合成数では、pq=1の関係が成り立ちます。このことから、平方数としては4と36だけが高度合成数であり、他の累乗数はこの条件に当てはまりません。

高度合成数の重要なポイントは、伝統的な単位系においてしばしば見受けられることです。例えば、時間の単位における24、60、角度で使う360、食品の単位としての12（ダース）などがあります。これらの数値は、除算の計算が容易であるという利点から選ばれることが多いとされています。

高度合成数の個数をQ(x)と表すと、次の不等式が成立する定数a、bが存在します。

(loge x)^a ≤ Q(x) ≤ (loge x)^b

このようにして、高度合成数の特性は数学の理論において非常に重要な位置を占めており、さまざまな実用的な応用を持っています。

関連項目

• - 合成数
• - 超過剰数

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