素数階乗素数

素数階乗素数、ユークリッド数、クンマー数について

数学において、素数階乗素数（primorial prime）とは、特定の形、つまり素数 p に対する p# ± 1 で表される素数のことを指します。ここで p# は、p 以下の全ての素数の積を示し、素数階乗素数はこの形式で導かれる素数です。この概念は、階乗素数の類似とも考えられ、2022年12月までに42個の素数階乗素数が知られています。

ユークリッド数とは

ユークリッド数は、素数に限らず p# + 1 の形で現れる数を指します。この名前の由来は、古代ギリシャの数学者ユークリッドが、素数の無限性を証明する際にこの数を用いたと広く考えられていることから来ています。表示される最初のいくつかのユークリッド数としては、3, 7, 31, 211, 2311, 30031, 510511, 9699691などがあります。

特に、これらの中で素数であるものを抜粋すると、3, 7, 31, 211, 2311, 200560490131 などがあり、次の素数は154桁に及びます。また、2024年8月現在、p# + 1 が素数になる時の p の候補として、2, 3, 5, 7, 11, 31 などの素数が24個知られています。その中でも、最大のもの 5256037# + 1 は、なんと2,281,955桁もの巨大な数で、2024年8月に Itsuki Kadowaki によって発見されました。

クンマー数の定義

一方、クンマー数（Kummer number）は、p# − 1 の形を持つ数であり、これも素数か否かを問わず存在します。クンマー数という名称は、ユークリッドの定理を証明するのにこの形式が用いられたことに由来します。小さい順に並ぶクンマー数には、1, 5, 29, 209, 2309, 30029, 510509 などが含まれます。これらの中で素数であるのは、5, 29, 2309, 30029, 304250263527209 と続いていきます。

クンマー数に関しては、2017年8月の時点で p# − 1 が素数となる条件を満たす素数 p が、3, 5, 11, 13, 41, 89 など合計20個確認されています。中でも、最大の p に基づくクンマー数、1098133# − 1 は476,311桁という非常に長い数字で、2012年3月には分散コンピューティングのプロジェクト PrimeGrid によって発見されました。

素数探索の現状

現在、p# ± 1 の形を持つ素数が無限に存在するのか、それとも有限であるのかという問題は未解決のままです。数学者ポーヤ・ジェルジは、「p# + 1 が素数になる頻度について質問された学生に、質問は愚者ができるが、賢者が答えられない問題がたくさんある」と返答したとされます。コールドウェルとギャロットは、2002年までに引き続き、10^5 以下の全ての素数 p に対して、その p# ± 1 が素数であるかどうかを検出した記録があります。

このように、素数階乗素数、ユークリッド数、クンマー数は、数論における興味深い概念を提供し、さらなる研究の対象となっています。これらの数が持つ特性やその発見に関する研究は、今後も進められていくことでしょう。

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