結合係数

結合係数とは

結合係数（coupling coefficient または inductive coupling factor）は、変圧器における一次巻線と二次巻線の磁気的な結合の度合いを表す無次元の数値です。記号 `k` で示され、その値は変圧器の特性を理解する上で非常に重要です。

結合係数の定義

結合係数には2つの定義があります。

1. coupling coefficient: これは -1 から +1 の範囲の値を取ります。巻線の巻き方によって正負の値を取り、正の値は減極性、負の値は加極性に対応します。
2. inductive coupling factor: これは 0 から 1 の範囲の値を取ります。通常、変圧器の結合の度合いを示す場合、こちらが用いられます。

理想的な変圧器では、一次巻線と二次巻線の間の磁束が完全に結合し、漏れ磁束が存在しない状態を指します。この時の結合係数は 1 となります。しかし、現実の変圧器では、漏れ磁束が必ず存在するため、結合係数は 1 よりも小さくなります。

結合係数の意味

結合係数は、変圧器の自己インダクタンスのうち、どれだけが変圧器としての機能に寄与し、どれだけがチョークコイルのように働くかを示す割合です。結合係数が 1 に近いほど、変圧器としての効率が高く、漏れインダクタンスが小さいことを意味します。逆に、結合係数が小さい場合は、漏れインダクタンスが大きくなり、変圧器の性能に影響を与えます。

漏れインダクタンスとの関係

実際の変圧器では、漏れ磁束によって、一次側と二次側にそれぞれ直列に接続されたインダクタンス（漏れインダクタンス）が生じます。この漏れインダクタンスは、変圧器の性能を制限する要因となります。漏れインダクタンスは以下の式で表されます。

一次側漏れインダクタンス（L_e1）：L_e1 = (1 - k)L₁
二次側漏れインダクタンス（L_e2）：L_e2 = (1 - k)L₂

ここで、L₁とL₂はそれぞれ一次巻線と二次巻線の自己インダクタンスを表します。結合係数 `k` が小さいほど、漏れインダクタンスが大きくなることがわかります。

各インダクタンスの関係

一次巻線の自己インダクタンス：L₁
二次巻線の自己インダクタンス：L₂
一次側の有効インダクタンス（励磁インダクタンス）：M₁ = kL₁
二次側の有効インダクタンス（励磁インダクタンス）：M₂ = kL₂

相互インダクタンスとの関係

相互インダクタンス（M）と各巻線の自己インダクタンス（L₁、L₂）の関係は以下のようになります。

M² = M₁M₂

結合係数（k）は、相互インダクタンス（M）と各巻線の自己インダクタンス（L₁、L₂）を用いて、以下の式で定義されます。

k = M / √(L₁L₂)

また、結合係数(inductive coupling factor)は主磁束のパーミアンスと一次側総磁束のパーミアンスと二次側総磁束のパーミアンスから以下のようにも定義できます。

k = |Λ₁₂| / √(Λ₁₁Λ₂₂)

どちらの結合係数も絶対値は等しくなります。

結合係数の測定

変圧器の結合係数は、JIS C5321に規定された方法で測定できます。具体的には、一次巻線または二次巻線を短絡して、他方から見た自己インダクタンス（L_open）と漏れインダクタンス（L_sc）を測定します。

k = √(1 - L_sc/L_open)

この測定により、変圧器の結合状態を把握することができます。結合係数は一次側から測定しても、二次側から測定しても同じ値になります。

変圧比への影響

理想的な変圧器では、巻数比（N₂/N₁）と変圧比（V₂/V₁）は等しくなります。しかし、実際の変圧器では結合係数が影響し、軽負荷または二次電流がほとんど流れない状態では、変圧比は以下のようになります。

V₂/V₁ = k (N₂/N₁)

応用

結合係数は、変圧器の設計や性能評価において重要な役割を果たします。特に、磁気漏れ変圧器のように、意図的に結合係数を小さくする設計もあります。このタイプの変圧器は、漏れインダクタンスを利用して、特定の用途に合わせた特性を持たせることができます。

まとめ

結合係数は、変圧器の磁気的な結合の度合いを示す重要な指標であり、その値は変圧器の効率や性能に大きな影響を与えます。変圧器を理解し、適切に活用するためには、結合係数の概念を理解することが不可欠です。

参考文献

JIS C5321