線型基本図形

基本図形（射影幾何学）

射影幾何学は、点、直線、平面といった基本的な幾何学的要素とその間に存在する「接続」と呼ばれる関係を主に扱います。この接続関係とは、例えば点がある直線上にある、直線がある平面上に含まれる、あるいは平面がある点や直線を通るといった、要素間の位置関係を抽象的に表現したものです。これらの要素が互いにどのように結合し合うかを調べることは、射影幾何学の基礎をなしています。

基本図形の定義とその種類

この接続関係に基づき、一つの特定の基本要素を「台」として定めたとき、その台に接続する全ての他の基本要素を集めたものを「基本図形」または「線型基本図形」（ドイツ語: lineares Grundgebilde）と呼びます。基本図形は、台となる要素と、それに接続する要素の組み合わせによって分類されます。

三次元射影空間においては、接続関係に基づいて七種類の基本図形が定義されます。それぞれの定義は以下の通りです。

点列（Punktreihe, point range）：ある特定の直線（台）の上に存在する全ての点の集合。
線叢（Geradenbündel, bundle of lines）：ある特定の点（台）を共通に通過する全ての直線の集合。
点野（Punktfeld, point field）：ある特定の平面（台）の上に存在する全ての点の集合。
面叢（Ebenenbündel, bundle of planes）：ある特定の点（台）を共通に通過する全ての平面の集合。
線野（Geradenfeld, line field）：ある特定の平面（台）の上に存在する全ての直線の集合。
面束（Ebenenbüschel, sheaf of planes）：ある特定の直線（台）を共通に含む（通過する）全ての平面の集合。
線束（Geradenbüschel, pencil of lines）：平面（線野の台）上に存在する直線群の中で、さらに特定の点（台）を共通に通過する全ての直線の集合。これは、線野に含まれる直線のうち、一点に接続する部分集合と見なすことができます。

ここで、基本図形の基準となる「台」が点である場合は「中心」（Trägerpunkt）、直線である場合は「軸」（Trägergerade）と呼ばれることがあります。

基本図形間の階層構造

基本図形の間には、互いを部分集合として含むといった包含関係が見られます。この関係に基づいて、基本図形を二つの階層に分類することがあります。ある基本図形Iが別の基本図形IIの真部分集合となっている場合、Iを「一階の図形」（erster Stufe）、IIを「二階の図形」（zweiter Stufe）と呼びます。

具体的には、以下の三種類が一階の基本図形とされます。

点列
線束
面束

そして、以下の四種類が二階の基本図形とされます。

点野
線野
線叢
面叢

例えば、線束（一階）は、ある点を通る全ての直線（線叢、二階）の中にも、ある平面上の全ての直線（線野、二階）の中にも含まれる関係にあります。

特殊な場合

射影幾何学においては、無限遠点や無限遠直線といった特別な要素が体系に含まれています。これらの無限遠要素が基本図形の「台」となったり、含まれる要素となったりする場合、それらはアフィン幾何学的な視点から見ると平行な図形として解釈されることがあります。

例えば、中心が無限遠点にある線叢は、互いに平行な直線の集まり（平行線叢）として捉えられます。同様に、軸が無限遠直線である面束は、互いに平行な平面の集まり（平行面束）となります。また、中心が無限遠点にある平面上の直線の集合である線束は、互いに平行な直線の集まり（平行線束）となります。

まとめ

基本図形は、射影幾何学における点、直線、平面の接続関係とその構造を理解するための重要な概念です。七種類の基本図形とその間の包含関係に基づく階層構造を把握することは、射影幾何学の様々な定理や性質を考察する上で不可欠となります。

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