線型無関連

k上の線型無関連性とは

数学の分野、特に代数において、体kの拡大体Ω内で扱われる代数AとBが「k上線型無関連（linearly disjoint over k）」であるかどうかは、いくつかの条件に基づいて判断されます。以下に、その特徴と重要な性質について詳述します。

線型無関連性の条件

AとBがk上線型無関連であるための条件は、次のように定式化できます。

1. 写像の単射性:
写像 (x,y) ↦ xy によって誘導される写像が単射であるとき、すなわち、

$$A ensor_k B
ightarrow AB$$

が単射であることが一つの条件です。

2. 基底の独立性:
Aの任意の基底がB上で線型独立であること。この条件は、Aの構造の中にBの影響が含まれていないことを意味します。

3. 基底の積に関する独立性:
AとBの基底である u_i, v_j の積 u_iv_j がk上線型独立であることを必要とします。これにより、両者の相互作用がkに関して独立であることが保証されます。

整域としての性質

さらに、拡大体Ω内の部分代数は整域であるため、条件(i)が成立するならば、テンソル積 A ensor_k B は整域、特に被約体になります。この性質は、代数の構造が整域であることから、さらに拡張された性質を導き出す際に重要です。

同値性の理解

加えて、AとBがk上線型無関連であることは、彼らによって生成されるΩの部分体がk上線型無関連であることと同値です。この観点では、体のテンソル積についての理解が求められます。

部分代数と線型無関連性

次に、部分代数について考察します。もし A' ⊂ A かつ B' ⊂ B が部分代数であれば、A'とB'もk上線型無関連であることが確保されます。逆に、任意の有限生成部分代数が線型無関連であれば、それに基づいてAとB自身も線型無関連であると言われます。

まとめ

k上の線型無関連性は、数学的構造の深い理解を必要とする集合論的および代数的概念です。具体的な条件を理解することで、代数の相互作用や性質をより明確に捉えることができます。このテーマは、抽象代数や体論における基礎的なトピックであり、さらなる研究や応用に不可欠です。

関連項目

• - 体のテンソル積

参考文献

• - P.M. Cohn (2003). Basic algebra

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