線型独立

線形独立と線形従属：ベクトルの関係性の解明

線形代数学において、ベクトルの線形独立と線形従属は、ベクトル間の関係性を示す重要な概念です。本記事では、これらの概念を定義から具体的な例、そして行列式を用いた判定方法まで、詳細に解説します。

線形独立の定義

n本のベクトルが線形独立であるとは、それらのベクトルをスカラー倍して足し合わせた結果が零ベクトルになる場合、その係数が全てゼロであるときに限ることを意味します。言い換えれば、どのベクトルも他のベクトルの線形結合で表せないということです。

数式で表すと、ベクトルv₁, v₂, ..., vₙが線形独立である条件は次のようになります。

`c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ = 0 ⇒ c₁ = c₂ = ... = cₙ = 0`

ここで、c₁, c₂, ..., cₙはスカラーです。この式は、零ベクトルがこれらのベクトルの自明な線形結合でしか表せないことを意味しています。

線形従属の定義

線形独立でない状態を線形従属と言います。線形従属の場合、少なくとも一つのベクトルが他のベクトルの線形結合で表せます。つまり、上記の数式において、係数cᵢの中に少なくとも一つは0でない値が存在します。

線形独立と線形従属の判別

ベクトルが線形独立か線形従属かを判定する方法はいくつかあります。

1. 直接計算による方法

定義に基づき、線形結合を計算し、係数の値を求めます。全ての係数が0となる場合のみ線形独立です。ベクトルの数が少ない場合は有効な方法ですが、ベクトルの数が増えるにつれて計算量が急激に増加します。

2. 行列式を用いた方法

n次元ベクトル空間においてn個のベクトルを考える場合、それらのベクトルを列ベクトルとする行列を作成します。この行列の行列式が0でないならば、ベクトルは線形独立です。行列式が0ならば線形従属となります。この方法は、計算効率が良い点で優れています。

3. 部分集合の線形独立性の利用

線形独立な集合の部分集合は常に線形独立です。従って、部分集合が線形従属であれば、元の集合も線形従属です。

具体的な例

例1: 2次元ベクトル空間

R²におけるベクトル(1, 1)と(-3, 2)は線形独立です。なぜなら、

`c₁(1, 1) + c₂(-3, 2) = (0, 0)`

を満たすのはc₁=c₂=0の場合のみです。一方、ベクトル(1, 2)と(2, 4)は線形従属です。なぜなら、(2, 4) = 2(1, 2)と表せるからです。

例2: 4次元ベクトル空間

R⁴におけるベクトル(1, 4, 2, -3)、(7, 10, -4, -1)、(-2, 1, 5, -4)は線形従属です。これらのベクトルを列ベクトルとする行列の行列式は0となるためです。

例3: 標準基底ベクトル

n次元ベクトル空間Rⁿの標準基底ベクトルe₁, e₂, ..., eₙ (eᵢの第i成分が1で、それ以外が0)は線形独立です。

例4: 関数空間

関数空間においても線形独立性を考えることができます。例えば、e^tとe^(2t)は線形独立です。

線形従属関係のなす射影空間

ベクトル間に成り立つ線形従属関係は、係数ベクトルによって表現できます。これらの係数ベクトルは、射影空間を形成します。この空間は、線形従属関係の幾何学的構造を理解する上で重要な役割を果たします。

まとめ

線形独立と線形従属は、線形代数学における基本的な概念です。ベクトル空間の次元、基底の構成、そして線形写像の性質を理解する上で不可欠です。本記事で解説した定義、判定方法、そして具体的な例を通して、これらの概念をしっかりと理解することをお勧めします。

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