線形補間

線形補間について

線形補間（せんけいほかん、英: Linear interpolation）は、与えられた2点の間の値を推定するシンプルで重要な数値解析の方法です。この手法は一次式を用い、特に3つ以上のデータ点に対しては区分線形補間として活用されます。つまり、各区間を直線でつなぐ形でデータの変化を表現します。

基本的な考え方

線形補間の定義において、2つの座標点（x0, y0）と（x1, y1）が与えられます。これらの間に位置するxの値に対して、対応するyの値を求める作業を行います。これにより、次のような式が成り立ちます。

$$
\frac{y - y_0}{y_1 - y_0} = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}.
$$

この式をもとに、補間係数αを求めることができます。

$$
α = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}.
$$

また、この補間のプロセスでは、yの値を次の式で表現します。

$$
y = (1 - α)y_0 + αy_1.
$$

この式によって、xの値に基づいてyの値を簡単に得ることが可能です。

誤差の評価

線形補間を用いると、近似した関数fの値とその補間値p(x)との誤差が生じます。この誤差は次のように表されます。

$$
R_T = f(x) - p(x).
$$

誤差の大きさは、元の関数の二次導関数に依存します。このため、高次の導関数を持つ滑らかな関数に対しては、誤差が増大するケースもあります。

特徴と利点

線形補間は以下のような特長を持っています。計算が非常に簡易で、通常は計算量O(n)で実行可能です。また、単調性が保たれるため、元のデータが単調増加または単調減少であれば、補間結果もその性質を維持します。これにより、元データの特性が損なわれにくくなっています。

ただし、線形補間には制約もあります。連続性は保たれますが、導関数が不連続となるため、元データの変化に急激な部分があると高調波を生むことがあります。

応用分野

線形補間は多くの分野で応用されており、特にグラフィックスの処理やデータの推定に頻繁に使われます。たとえば、人口推移を推計したり、コンピュータグラフィックスでの画像処理に活用されます。さらに、GPUのハードウェアレベルにも実装されているため、さまざまなテクスチャフィルタリングにも利用されています。

歴史

この手法は古代から利用されており、天文学や測地学においてデータの補完に使用されてきた背景があります。古代のギリシャやセレウコス朝でも線形補間の技術が使われていたと考えられています。

拡張

要求される精度が高い場合、線形補間だけでは不十分とされることがあります。この際には、より高次の多項式補間やスプライン補間、またはバイリニア補間といった手法が選ばれることが多いです。これらは、より複雑なデータの補間を実現し、精度を高めるために使われています。

線形補間は、そのシンプルさと計算の速さから、多くの状況において重宝される基本的な手法です。

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