置換積分

置換積分法：積分計算の強力なツール

微分積分学において、置換積分法は複雑な積分をより簡単な形に変換し、計算を容易にする強力な手法です。この方法は、変数変換を用いて積分問題を解きやすくすることを目的としています。本稿では、一変数と多変数の置換積分について、詳細な説明と具体的な例を用いて解説します。

一変数関数の置換積分

まず、一変数関数の不定積分における置換積分を見ていきましょう。連続関数 f(x) と微分可能な関数 x = g(t) があるとき、以下の等式が成り立ちます。

∫f(x)dx = ∫f(g(t))g'(t)dt

この公式は、連鎖律と微分積分学の基本定理を用いて導き出されます。具体的には、積分された関数を t について微分することで、両辺の等式が示されます。この公式により、複雑な関数の積分を、より簡単な関数に変換して計算することが可能になります。

定積分の場合、積分区間の変換も必要になります。x = g(t) とすると、積分区間 [g(a), g(b)] は [a, b] に変換されます。したがって、定積分の置換積分は次のように表せます。

∫(g(a) to g(b)) f(x)dx = ∫(a to b) f(g(t))g'(t)dt

具体的な例

それでは、具体的な例を通して置換積分法の使い方を理解しましょう。

例1:

∫(0 to 2) xcos(x² + 1)dx

この積分において、u = x² + 1 と置換します。このとき、du = 2xdx となり、xdx = (1/2)du となります。積分区間も x = 0 のとき u = 1、x = 2 のとき u = 5 と変換されます。よって、積分は以下のように計算できます。

∫(0 to 2) xcos(x² + 1)dx = (1/2)∫(1 to 5) cos(u)du = (1/2)[sin(5) - sin(1)]

例2:

∫(0 to 1) √(1 - x²)dx

この積分では、x = sin(u) と置換します。このとき、dx = cos(u)du となります。積分区間は x = 0 のとき u = 0、x = 1 のとき u = π/2 と変換されます。ここで、0 ≤ u ≤ π/2 の範囲では cos(u) ≥ 0 であることに注意して、以下の計算を行います。

∫(0 to 1) √(1 - x²)dx = ∫(0 to π/2) √(1 - sin²(u))cos(u)du = ∫(0 to π/2) cos²(u)du = π/4

多変数関数の置換積分

一変数の場合と同様に、多変数関数に対しても置換積分を適用できます。例えば、x = φ(u, v), y = ψ(u, v) という変数変換を行う場合、ヤコビアンと呼ばれる行列式 |J| を用いて以下の公式が成り立ちます。

∬f(x, y)dxdy = ∬f(φ(u, v), ψ(u, v))|J|dudv

ここで、ヤコビアン J は偏微分を用いて次のように定義されます。

J = ∂(x, y)/∂(u, v) = det(∂x/∂u, ∂x/∂v],[∂y/∂u, ∂y/∂v)

この公式は、dxdy = |J|dudv と形式的に書くことができます。ヤコビアンは変数変換における面積要素の変化を表し、積分計算において非常に重要な役割を果たします。

まとめ

置換積分法は、微分積分学における基本的な手法でありながら、非常に強力なツールです。適切な変数変換を行うことで、複雑な積分を簡単に計算することができます。本稿で紹介した例以外にも、様々な積分問題に適用できるため、微分積分学を学ぶ上で習得すべき重要な概念です。

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