連鎖律

連鎖律（Chain Rule）詳解

微分法における連鎖律とは、複数の関数が合成された合成関数の微分を、それぞれの関数の導関数の積で表す公式です。この公式は、複雑な関数の微分を簡略化し、効率的に計算することを可能にします。本記事では、連鎖律の定義、計算例、そして厳密な証明について詳しく解説します。

連鎖律の定義

まず、連鎖律の基本的な定義を示します。開区間 \(I\) 上で微分可能な関数 \(f\) と、開区間 \(J\) 上で微分可能な関数 \(g\) を考えます。\(g(J) \subset I\) である場合、合成関数 \(f \circ g\) は \(J\) 上で微分可能であり、その導関数は以下のようになります。

\[(f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x)\]

ライプニッツの記法を用いると、次のように表現できます。

\[\frac{df}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}\]

この式が連鎖律の核心です。合成関数の微分は、外側の関数の導関数と内側の関数の導関数の積で表されることを示しています。直感的には、内側の関数の変化が外側の関数にどのように影響するかを反映していると言えます。積分法においては、この連鎖律は置換積分に対応します。

計算例

連鎖律の具体的な使い方は、以下の例題で見てみましょう。

\(y = \log(\cos x)\) を \(x\) について微分します。\(u = \cos x\) と置くと、\(y = \log u\) となります。連鎖律を用いると、

\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\]

となります。それぞれの導関数は、

\[\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}, \quad \frac{du}{dx} = -\sin x\]

なので、

\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} (-\sin x) = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\tan x\]

となります。このように連鎖律を用いることで、複雑な合成関数の微分を容易に計算できます。

誤った証明と修正

連鎖律の証明を試みる際に、よくある間違いがあります。微分の定義から出発し、次のような式を導くことがありますが、これは不完全です。

\[(f \circ g)'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(g(x)) - f(g(a))}{x - a}\]

この式を単純に因数分解して、\(f'(g(a)) \cdot g'(a)\) を導こうとすると、\(g(x) = g(a)\) となる \(x\) が存在する場合、0で割る割り算が発生し、証明が破綻します。

この問題を解決するためには、関数の挙動を注意深く検討し、極限の性質を正しく適用する必要があります。具体的には、関数の連続性と微分可能性を考慮した厳密な議論が必要です。

厳密な証明

連鎖律の厳密な証明には、いくつかの方法がありますが、ここでは、補助関数を導入する方法を用います。まず、次のような補助関数 \(Q(y)\) を定義します。

\[Q(y) = \begin{cases} \frac{f(y) - f(g(a))}{y - g(a)} & (y
eq g(a)) \\ f'(g(a)) & (y = g(a)) \end{cases}\]

この \(Q(y)\) を用いて、差分商を次のように表現します。

\[\frac{(f \circ g)(x) - (f \circ g)(a)}{x - a} = Q(g(x)) \cdot \frac{g(x) - g(a)}{x - a}\]

ここで、\(x \to a\) の極限を取るとき、右辺の第2項は \(g'(a)\) に収束します。第1項は、\(Q(y)\) の連続性と \(g(x)\) の連続性から、\(Q(g(a)) = f'(g(a))\) に収束します。したがって、

\[(f \circ g)'(a) = f'(g(a))g'(a)\]

が得られます。これは連鎖律の厳密な証明です。

まとめ

本記事では、連鎖律の定義、計算例、そして厳密な証明について解説しました。連鎖律は、微分積分学において非常に重要な定理であり、多くの場面で活用されます。その理解を深めることで、より高度な数学の学習に繋がります。

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