群の直積

群論における直積

群論の領域において、直積（direct product）は、複数の群を組み合わせて新しい群を形成する方法です。この構成法は、特に与えられた群の正規部分群として新たな群を含む特性を持っています。

直積の定義

まず、2つの群 G と H が与えられたとします。このとき、G と H の直積は、以下のように記述されます。直積の元は、元の群からの元の組（g, h）で構成されます。演算は、次のように規定されます：

$$(g, h)(g', h') = (gg', hh')$$

ここで、g, g' は群 G の元、h, h' は群 H の元です。このように定義される G × H は群になります。このように、G と H の直積と呼ばれます。

有限個の群の直積

さらに、複数の群、例えば G1, G2, ..., Gn がある場合、これらの直積も同様に定義できます。ここでは、元は次のように表されます：

$$(g_1, g_2, rac{g_n})$$

その演算も類似の形で定義されます：

$$(g_1, g_2, rac{g_n})(g_1', g_2', rac{g_n'}) = (g_1g_1', g_2g_2', rac{g_n g_n'})$$

この結果得られる群を、G1, G2, ..., Gn の直積と呼びます。

任意個の群の直積

一般には、群の族 {Gi} に対しても、同様な手法で直積を定義できます。この場合の元は、次のように表されます：

$$(g_i)$$

演算は次の様になります：

$$(g_i)(g_i') = (g_ig_i')$$

これにより、群 {Gi} の直積が形成されます。

直積群の性質

直積因子

群 G と H の直積 G × H は、次のような正規部分群を含みます：

• - $\{(g, 1_H) \, | \, g \in G\}$
• - $\{(1_G, h) \, | \, h \in H\}$

ここで、1G と 1H はそれぞれの群の単位元です。これらの部分群は、各々群 G および H と同型です。

可換性

G × H の直積群において、群 G の任意の元 g と群 H の任意の元 h は、次のように可換です：

$$(g, h) = (g, 1_H)(1_G, h) = (1_G, h)(g, 1_H)$$

その他の性質

最後に、次のような同型関係が成立します：

$$(G×H)×K ≅ G×(H×K) ≅ G×H×K$$

また、群 Gi (i ∈ I) に対し、自然な射影 πj に基づいて、任意の群 H に対する群準同型写像 fj との関係も確立され、群の直積の構造が強調されます。

参照文献

• - 雪江明彦『代数学』 1巻、日本評論社、2010年。
• - 森田康夫『代数概論』、数学選書9。
• - Serge Lang, Algebra, GTM 211 (Rev. 3rd ed.), Springer。

このように群の直積は、数学の基礎をなす重要な概念であり、群の性質や構造の理解に不可欠な役割を果たしています。

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