群ホップ代数

群ホップ代数の概要

群ホップ代数は、群とその作用に関わる重要な数学的な構成です。この代数は量子群論の発展において、中心的な役割を果たすものとなっています。以下では、群ホップ代数の定義、群作用の対称性、ホップ加群代数、ホップスマッシュ積について詳しく解説します。

定義

数学的には、群 $G$ と体 $k$ に対して、$G$ の $k$ 上の群ホップ代数 $kG$（または $k[G]$）は、$G$ の元を基底とする自由な線型空間であり、線型環としては、畳み込みと呼ばれる乗法によって定義されます。具体的には、この乗法は $G$ の群演算を線型に拡張したものです。このとき、$G$ の単位元は乗法における単位元となります。

群ホップ代数の構造を確立するためには、余乗法 $Δ$、余単位 $ε$ および対蹠射 $S$ が必要です。これらはそれぞれ次のように定義されます：

• - $Δ(x) = x ensor x$
• - $ε(x) = 1_{k}$
• - $S(x) = x^{-1}$

このように定義することによって、$kG$ に余可換ホップ代数の構造を付与することができます。また、$kG$ がホップ代数としての公理を満たすことは比較的容易に確認できます。特に、群的元と呼ばれる元の集合 $G(kG)$ は、元の集合 $G$ と一致します。

群作用の対称性

群 $G$ と位相空間 $X$ の関係において、$G$ の $X$ への任意の作用 $α: G × X → X$ は、準同型 $φα: G → Aut(F(X))$ を生成します。ここで、$F(X)$ は $k$-値関数の成す適当な線型環です。準同型は次の定義に基づきます：

$$orall g ext{ in } G, orall f ext{ in } F(X), orall x ext{ in } X, ext{ defined as } α_{g}^*(f)x = f(α(g, x)).$$

このようにして、群の作用を用いて、群的元が $F(X)$ の自己同型を生み出すという性質が得られます。

ホップ加群代数

ホップ代数 $H$ に対し、（左）ホップ $H$-加群代数 $A$ は、線型環であり、線型環 $H$ 上の加群としての構造を持っています。この加群は

• - $h⋅1_A = ε(h)1_A$ 及び $h ⋅ (ab) = (h(1) ⋅ a)(h(2) ⋅ b)$

となるような条件を満たすと定義されます。

ホップスマッシュ積

また、ホップ代数 $H$ と左ホップ $H$-加群代数に対して、スマッシュ積代数 $A oost H$ は、テンソル積の線型空間 $A ensor H$ の上に次のように積を定義することで形成されます：
$$(a ensor h)(b ensor k) = a(h(1) ⋅ b) ensor h(2) k.$$
この定義の下で、スマッシュ積は接合積とも呼ばれます。

結論

群ホップ代数とその関連する構造は、群や対称性を理解するための有力なツールであり、量子群論において特に重要です。これにより、数学の様々な分野、特に高次の対称性やトポロジーにおける問題に光を当てる役割を果たしています。

もう一度検索