群作用

群作用 (Group Action)

数学における群作用は、群という代数的構造を用いて、ある対象の対称性を記述するための概念です。物体の対称性を集合上の変換群として捉え、その群が集合の要素にどのように作用するかを調べることで、対象の構造や性質を深く理解することができます。

導入

物体の本質的な要素を集合で表現し、その対称性を集合上の変換群として記述します。特に集合が有限集合の場合は置換群、ベクトル空間の場合は線形変換群と呼ばれることがあります。

群作用は、群の各元が集合上の変換として作用するものの、その変換と同一視する必要がない点が、対称性の群の柔軟な一般化となっています。これにより、多面体の頂点、辺、面など、異なる集合に対して同じ群を作用させることで、物体の対称性を包括的に記述できます。

群 G から集合 X の対称群への群準同型として定義され、群 G の各元に対して X の置換が割り当てられます。

群 G の単位元は、X 上の恒等変換に対応します。
群 G の2つの元の積は、対応する置換の合成に対応します。

このような群作用は、群の置換表現としても知られています。

群作用を用いることで、幾何学的な考え方を抽象的な対象にも応用できます。多くの数学的対象は自然な群作用を持ち、特に群は別の群や自分自身に作用できます。一般性があるにもかかわらず、群作用の理論は、軌道・安定化群定理などの適用範囲の広い定理を含み、様々な分野で重要な結果をもたらします。

定義

G を群、X を集合とするとき、G の X への左群作用とは、写像 L: G × X → X; (g, x) ↦ L(g, x) =: g • x で、以下の2つの公理を満たすものです。

1. G の任意の元 g, h と X の任意の元 x に対して、(gh) • x = g • (h • x) が成り立つ。
2. G の単位元 e と X の任意の元 x に対して、e • x = x が成り立つ。

このとき、集合 X は左 G-集合と呼ばれ、群 G は X に（左から）作用するといいます。

同様に、群 G の集合 X への右群作用は、写像 R: X × G → X; (x, g) ↦ R(x, g) =: x • g と、以下の2つの公理によって定義されます。

1. x • (gh) = (x • g) • h
2. x • e = x

右作用と左作用の違いは、積の作用の順番です。右作用に群の反転演算を適用することで左作用が得られるため、理論上は左群作用のみを主に考え、これを単に群作用と呼びます。

例

自明な作用: 任意の群 G に対して、G の全ての元が X 上の恒等変換を誘導する作用 (g • x = x)。
G 自身への作用: 任意の群 G は、自身への自然な作用を持ちます。共役作用 (conjugation) と呼ばれる作用は、右作用版では xg = g−1xg と書かれます。
対称群の作用: 対称群 Sn とその部分群は、集合 {1, ..., n} に元の置換として作用します。
多面体の対称性: 多面体の対称性の群は、多面体の頂点集合や面集合に作用します。
ベクトル空間の自己同型群: ベクトル空間、グラフ、群、環などの自己同型群は、それぞれ、そのベクトル空間、グラフの頂点集合、群、環などに作用します。
ガロア群の作用: 体の拡大 E/F のガロア群 Gal(E/F) は、大きい方の体 E に作用します。

作用の種類

群 G の X への作用には、以下のような種類があります。

推移的 (transitive): X が空でなく、X の任意の元 x に対して Gx = X が成り立つ。
鋭推移的 (sharply transitive): X の各元 y に対して、gx = y となる g が一意に存在する。
n-重推移的 (n-transitive): X が少なくとも n 個の元を持ち、任意の x1, ..., xn と y1, ..., yn に対して、gxk = yk (1 ≤ k ≤ n) となる g が存在する。
忠実 (faithful): G の異なる元 g, h に対して、gx ≠ hx となる x が存在する。
自由 (free): X の任意の元 x に対して、gx = x ならば g は単位元である。
正則 (regular): 自由かつ推移的である。

軌道と等方部分群

群 G が集合 X に作用しているとき、X の点 x の軌道とは、G の各元を x に作用させた要素の集合 Gx = {gx | g ∈ G} です。X における G の作用に関する軌道全体の集合は、X の類別を与えます。

X の各元 x に対して、x の安定化部分群または等方部分群とは、x を固定する G の元全体の集合 Gx = {g ∈ G | gx = x} です。

軌道と固定部分群の間には密接な関係があります。軌道・固定部分群定理によれば、|Gx| = [G:Gx] = |G|/|Gx| が成り立ちます。

群作用と亜群

群作用は、作用亜群を対応させることによって、より広い文脈で考えることができます。これにより、表示やファイバー付けといった亜群の理論における手法が利用できます。

射と同型

X および Y がともに G-集合であるとき、X から Y への G-集合の射とは、写像 f: X → Y であって、f(gx) = gf(x) を満たすものです。G-集合の射が全単射ならば、G-集合の同型写像といいます。

連続な群作用

G が位相群、X が位相空間であるとき、写像 G × X → X が連続であるような G の X への連続群作用を考えることができます。この場合、位相空間 X を G-空間と呼びます。

一般化

群作用の概念は、モノイドの集合への作用や、群やモノイドの適当な圏の対象への作用に一般化できます。

群作用