胡蝶定理

胡蝶定理

ユークリッド幾何学における古典的な定理の一つに、「胡蝶定理（こちょうていり）」があります。英語では"butterfly theorem"と呼ばれ、その名前は定理が示す図形の形状に由来すると考えられています。この定理は、19世紀初頭に数学者のウィリアム・ウォレスによって提唱されたとされています。円に関する興味深い性質を示すものです。

定理の主張

胡蝶定理は、円の弦とその中点に関する性質を記述します。ある円の弦PQがあり、その中点をMとします。点Mを通る任意の二つの弦ABおよびCDを引きます。ただし、A, B, C, Dは円周上の点です。ここで、弦ADと最初の弦PQとの交点をX、弦BCと最初の弦PQとの交点をYとします。このとき、点Mは弦PQ上の二つの交点XとYのちょうど中点となります。つまり、線分MXの長さと線分MYの長さが等しい（MX = MY）という結論が導かれます。

証明の概要

胡蝶定理の証明には複数のアプローチがありますが、ここでは初等幾何学を用いた証明の主な流れを説明します。証明の鍵となるのは、相似な図形の利用と方べきの定理の応用です。

まず、交点XやYから、特定の基準線に対して垂線を下ろすといった補助線を考えます。これによりできる様々な三角形に着目し、それらが互いに相似であることを示します。相似な三角形の対応する辺の比は等しいという性質を利用して、線分MXやMYに関係する長さの比を含む複数の等式を導出していきます。

次に、円周角の定理など、円の性質に関する他の幾何学的定理を適用します。これにより、先に得られた辺の比の等式をさらに発展させ、図形全体の構成要素間の関係性を明らかにします。

証明の重要なステップとして、方べきの定理を用います。方べきの定理によれば、円の内部にある点Mを通る直線が円と交わる二点までの距離の積（例えば PM・MQ）は一定の値になります。また、円外の点から引いた接線や割線についても関連する性質が成り立ちます。この定理を適切に適用することで、弦上の線分の積（AX・DXや CY・BY など）に関する関係式と、点M、X、Y、そして弦PQの端点P, Qに関わる線分の長さ（PM, MX, MYなど）の関係を結びつけます。

これらの等式を組み合わせ、代数的な計算を進めることで、最終的に `(MX)² = (MY)²` という結論が得られます。線分の長さは負にならないため、これから直ちに `MX = MY` であることが導かれ、点Mが線分XYの中点であることが証明されます。このように、証明は複数の幾何学的性質と代数的な操作を組み合わせて行われます。

他の証明と一般化

胡蝶定理は、初等幾何学だけでなく、射影幾何学といった他の数学分野の視点からも証明することが可能です。射影幾何学的な観点からは、より一般的な性質の特殊な場合と捉えることもできます。

また、この定理はロシアの数学者シャリーギンによって次のように一般化されています。円の弦AB上に、AM=BNを満たすように点M, Nを取ります。それぞれM, Nを通る弦PQ, RSを描き、それぞれ弦PR, SQが元の弦ABと交わる点をL, Kとすれば、AK=BLが成立します。これは、元の胡蝶定理がM=Nとした場合の特別なケースに対応します。

胡蝶定理は、単純な円と線分の構成から導かれる美しくも奥深い幾何学的性質を示しており、様々な数学的手法によってその正しさが確認され、さらなる一般化もなされています。

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