方べきの定理

方べきの定理

方べきの定理（ほうべきのていり、英語: power of a point theorem）は、平面幾何学における基本的な定理の一つです。この定理は、円とその円周上にない点（外部または内部の点）との関係について、特定の条件下での線分の長さの積が一定になるという性質を示します。割線や接線といった、円と直線との交点に関する重要な関係を述べたものです。

定理の内容

方べきの定理の主張は、点 P が円に対してどの位置にあるかによって、主に以下の二つの形にまとめられます。

1. 点 P を通る二つの割線が円と交わる場合
円 O があり、その円周上にない点 P を考えます。点 P を通る二本の直線が、それぞれ円と二点ずつで交わっているとします。一方の直線が円と交わる点を A, B とし、もう一方の直線が円と交わる点を C, D とします。このとき、点 P からそれぞれの交点までの距離の積について、次の等式が成り立ちます。

PA × PB = PC × PD

この等式は、点 P が円の内部にある場合でも、円の外部にある場合でも成立します。点 P が円の内部にあるときは、AとB、CとDはそれぞれPを挟んで反対側に位置します。点 P が円の外部にあるときは、PはAとB、CとDのそれぞれに対して、線分ABやCDの外側に位置します。

2. 点 P を通る割線と接線が円と交わる（接する）場合
点 P が円 O の外側にあり、点 P を通る直線の一方が円の割線（円と二点で交わる直線）、もう一方が円の接線（円と一点で接する直線）である場合を考えます。割線が円と交わる点を A, B とし、接線が円と接する点を T とすると、次の等式が成り立ちます。

PA × PB = PT²

ここで、PA, PB は点 P から割線との交点までの距離、PT は点 P から接点までの距離を表します。

これらの定理は、図を描いて三角形の相似を利用することで証明できます。

方べきの定理の逆

方べきの定理には、その逆も成り立ちます。これは、点が同一円周上にある（共円である）条件や、直線が円の接線となる条件を与える際に利用されます。

• - 平面上に異なる4点 A, B, C, D があり、直線 AB と直線 CD がただ一点 P で交わるとします。もし PA × PB = PC × PD という関係が成り立ち、かつ点 P が線分 AB と線分 CD の両方に対して、線分の内部にあるか、または両方とも線分の外部にあるならば、4点 A, B, C, D は同一円周上に存在します。
• - 平面上に同一直線上にない異なる3点 A, B, T があり、直線 AB 上に点 P があるとします。もし PA × PB = PT² という関係が成り立ち、かつ点 P が線分 AB の外部にあるならば、3点 A, B, T を通る円（△ABT の外接円）について、点 T における接線は必ず点 P を通ります。

これらの逆の定理も、もとの定理と同様に、三角形の相似関係を逆にたどる形で証明することができます。逆定理が成り立つためには、点 P が線分に対して内部にあるか外部にあるかといった位置関係が重要な条件となります。

方べきの値

点 P と円 ω の位置関係が与えられたとき、点 P を通り円 ω と交わる任意の直線に対して、その交点を A, B としたときの距離の積 PA × PB の値は、その直線の選び方によらず一定であることが、方べきの定理からわかります。この、点 P と円 ω のみに依存して定まる値を、点 P の円 ω に関する「方べきの値（ほうべきのあたい）」、または単に「方べき」と呼びます。

円 ω の中心を O、半径を r とすると、方べきの値 Πω(P) は次の式で定義されます。

Πω(P) = PO² - r²

ここで PO は点 P と円の中心 O との距離です。この方べきの値は、点 P が円の外側にある場合は正の値、円の内側にある場合は負の値、ちょうど円周上にある場合はゼロとなります。この概念は、複数の円の位置関係（例えば根軸の定義など）を調べる際に有用ですが、日本の高等学校の数学課程で詳しく扱われることは少ないようです。

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