自励系

自励系（じれいけい）

概要

微分方程式論や力学系の分野で用いられる重要な概念です。自励系（Autonomous system）とは、記述する方程式がその独立変数（多くの場合、時間 $t$ と見なされます）を方程式の関数の中に陽に（直接）含まない微分方程式を指します。これは自律系とも呼ばれます。自励系に対し、独立変数を関数の中に陽に含む微分方程式は非自励系（Non-autonomous system）または非自律系と呼ばれます。

定義

一般的な1階の常微分方程式系は、複数の従属変数をまとめたベクトルを $\boldsymbol{x}$、独立変数を $t$ として、以下の形で表すことができます。


\frac{d\boldsymbol{x}}{dt} = f(t, \boldsymbol{x})


ここで、$f$ はベクトル値関数です。この方程式系において、関数 $f$ が独立変数 $t$ を引数として陽に含まない場合、すなわち $f(t, \boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{x})$ と書けるとき、この方程式系を自励系と定義します。


\frac{d\boldsymbol{x}}{dt} = f(\boldsymbol{x})


一方、$f$ が $t$ を陽に含む場合は非自励系となります。この区分けは1階の連立微分方程式に限らず、任意の高階の微分方程式に対しても同様に適用されます。

例えば、大気の対流モデルから生まれたローレンツ方程式は3変数の自励系であり、その方程式の右辺には時間 $t$ が直接現れません。対照的に、外部から周期的な力が加わる振動系などを記述するダフィング方程式のような方程式は非自励系の典型例で、右辺に時間 $t$ の関数を含む項が含まれることがあります。

性質

自励系が持つ最も本質的で重要な性質の一つに時間並進不変性があります。これは、もし $\boldsymbol{x}(t)$ が自励系 $\frac{d\boldsymbol{x}}{dt} = f(\boldsymbol{x})$ の解であるならば、任意の定数 $c$ に対して $\boldsymbol{x}(t+c)$ もまた同じ自励系の解となるという性質です。これは、方程式の形そのものが時間経過に依存しないため、解曲線を時間軸方向に任意の量だけずらしても、依然として方程式を満たし続けることを意味します。非自励系の場合、方程式自体が時間とともに変化するため、この性質は一般には成り立ちません。

従属変数が張る多次元空間を相空間と呼び、解が相空間内に描く曲線を軌道と呼びます。自励系の軌道は、相空間上で互いに交わることがありません。もし2つの軌道がある点 $\boldsymbol{x}_0$ を共有するならば、それらは完全に同一の軌道であると断定できます。なぜなら、その点 $\boldsymbol{x}_0$ における系の状態変化率（速度ベクトル $f(\boldsymbol{x}_0)$）が、その点をいつ通過するかという時間 $t$ に依存せず、点の位置 $\boldsymbol{x}_0$ だけで一意に定まるからです。したがって、自励系の軌道の形状は、初期時刻ではなく初期状態によってのみ決まります。非自励系では、速度ベクトルが時間にも依存するため、相空間上で軌道が交差したり、ある軌道が異なる時刻で自身と再会したりすることが起こり得ます。

非自励系から自励系への変換

任意の $n$ 次元の非自励系 $\frac{d\boldsymbol{x}}{dt} = f(t, \boldsymbol{x})$ は、形式的に $n+1$ 次元の自励系に変換することが可能です。この変換は、独立変数 $t$ を新たな従属変数 $x_{n+1} := t$ として導入することで行われます。具体的には、元の $n$ 個の変数に加えて、$\frac{dx_{n+1}}{dt} = 1$ という方程式を付け加えることで、新しい $(n+1)$ 次元ベクトル $\boldsymbol{X} = (\boldsymbol{x}, x_{n+1}) = (x_1, \dots, x_n, t)$ に対する自励系


\frac{d\boldsymbol{X}}{dt} = \boldsymbol{F}(\boldsymbol{X})


を構成します。ここで $\boldsymbol{F}$ は $f$ と $\frac{dx_{n+1}}{dt} = 1$ の項を組み合わせたベクトル関数です。この変換により、元の非自励系のダイナミクスを、1次元高い拡大相空間（$(\boldsymbol{x}, t)$空間）上の自励系の流れとして捉えることができます。この視点は、非自励系の解の存在や一意性などの理論解析において有効な場合があります。ただし、変換によって得られた自励系には $\frac{dx_{n+1}}{dt} = 1$ という項が存在するため、右辺ベクトル $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{X})$ がゼロとなる平衡点を持つことはありません。この点は、拡大相空間における流れを解析する上で、通常の自励系とは異なる考慮が必要になる理由の一つです。

用語の由来

「自励系」という名称は、もともと振動学における自励振動という現象に由来するとされています。自励振動とは、外部からの周期的な入力（強制項）によらず、系自身の内部機構によってエネルギーを供給・変換し、振動が持続する現象のことです。この自励振動を記述する微分方程式が、時間 $t$ を陽に含まない形であることが多かったため、時間非依存の微分方程式全般を自励系と呼ぶようになりました。しかし、自励系という分類が必ずしも自励振動を示す系だけを指すわけではありません。

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