自己共分散

自己共分散について

自己共分散（じこきょうぶんさん、英: autocovariance）とは、統計学の分野で、確率過程における変数の自己相関の度合いを示す重要な概念です。具体的には、時間をずらした自分自身との共分散を表します。これにより、時系列データや確率過程の理解が深まり、データ間の関係性を明らかにすることが可能になります。

自己共分散を表すために、確率過程を X(t) とし、その平均を E[X_t] = μ_t とした場合、自己共分散は次のように定義されます。

$$
K_{XX}(t, s) = E[(X_t - μ_t)(X_s - μ_s)] = E[X_t imes X_s] - μ_t imes μ_s.
$$

ここで、E は期待値演算子です。これにより、自己共分散の具体的な計算方法が示されています。

定常性と自己共分散

確率過程 X(t) が定常過程である場合、いくつかの重要な条件が成り立ちます。この場合、すべての t, s に対して平均が定数であること、すなわち、

$$
μ_t = μ_s = μ
$$

という条件が満たされます。また、自己共分散も次のように条件付けられます。

$$
K_{XX}(t, s) = K_{XX}(s - t) = K_{XX}(τ)
$$

ここで τ はラグタイムを表し、s と t の時間差を示します。この結果から、自己共分散は次のように一般化されます。

$$
K_{XX}(τ) = Eig{(}(X(t) - μ)(X(t + τ) - μ)ig{)} = E[X(t) imes X(t + τ)] - μ^2.
$$

この式では、R_{XX}(τ) が自己相関を示していることも重要です。

正規化と自己相関係数

自己共分散の分散 σ^2 での正規化を行うと、自己共分散は自己相関係数 ρ に変換されます。具体的には、次のように表されます。

$$
ρ_{XX}(τ) = rac{K_{XX}(τ)}{σ^2}.
$$

自己相関係数は、元のデータのスケールに依存せず、相関の強さを示すため、比較が容易です。このようにして、自己共分散はラグによる時間シフトに対する自己相関の強さを測定する的確な尺度となります。また、自己相関と自己共分散という用語は時折同義に使われることがあるため、注意が必要です。自己共分散は、データの完全な相関が σ^2 で示されるときに、自己相関の強さを [−1, 1] の範囲に正規化することで、その理解を深めることができます。

このように、自己共分散は時系列データを分析する上で非常に有用な手法であり、特に経済学や自然科学のデータ解析において広く用いられています。

参考文献

• - P. G. Hoel (1984): Mathematical Statistics, New York, Wiley
• - Lecture notes on autocovariance from WHOI

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