自由粒子

自由粒子：古典力学から量子力学まで

自由粒子は、外部からの力や場の影響を受けない粒子です。古典力学では、一定の速度で運動し、その運動量とエネルギーは質量と速度によって決定されます。

古典的自由粒子

[古典力学]]における自由粒子は、シンプルな運動を示します。一定の速度で直進し、その運動量は質量と速度の積(p = mv)、エネルギーは運動エネルギー]で表されます。ここで、mは[[質量、vは速度ベクトルです。

非相対論的量子力学における自由粒子

量子力学では、自由粒子の挙動はシュレーディンガー方程式によって記述されます。初期状態をψ₀(x)とした場合、時間tにおける状態ψ(x, t)はシュレーディンガー方程式を解くことで求められます。この方程式は、粒子の波動関数の時間発展を支配します。

絶対可積分の場合

波動関数ψ(x, t)とψ₀(x)がxについて全空間で絶対可積分であると仮定すると、フーリエ変換を用いてシュレーディンガー方程式を解くことができます。フーリエ変換により、波動関数を運動量空間で表現でき、時間発展は運動量に依存した位相因子によって記述されます。逆フーリエ変換を用いることで、時間tにおける波動関数ψ(x, t)を求めることができます。

解法：フーリエ変換

フーリエ変換と逆フーリエ変換を用いた解法は、シュレーディンガー方程式を運動量空間で解くことで、時間発展を簡潔に表現する方法です。この方法では、初期状態のフーリエ変換を計算し、時間発展による位相因数を乗算することで、時間tにおける運動量空間での波動関数を導出します。最後に逆フーリエ変換を行うことで、実空間における波動関数を得ます。この過程では、畳み込み積が重要な役割を果たします。ただし、指数関数が可積分でないため、iをi+εに置き換え、ε→0の極限をとるなどの工夫が必要になります。

一般の場合

波動関数が絶対可積分でない一般の場合には、フーリエ変換の定義を拡張する必要があります。これは、球体上の積分を考え、半径を無限大に近づけるL²極限を用いて定義します。この方法を用いることで、一般の場合のシュレーディンガー方程式の解を得ることができます。

相対論的自由粒子

相対論的な自由粒子の記述には、クライン-ゴルドン方程式やディラック方程式など、複数の異なる方程式が用いられます。クライン-ゴルドン方程式はスピン0の粒子、ディラック方程式はスピン1/2の粒子（電子など）の相対論的挙動を記述します。これらの解法は、それぞれ個別の記事で詳しく解説されています。

まとめ

本記事では、自由粒子の古典力学、非相対論的量子力学、そして相対論的量子力学における記述について解説しました。特に非相対論的量子力学においては、シュレーディンガー方程式の解法を詳細に説明し、絶対可積分の場合と一般の場合の解を導出しました。さらに、相対論的自由粒子の記述に関連する方程式についても触れ、より深い理解を促しました。

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