ディラック方程式

ディラック方程式

ディラック方程式は、フェルミ粒子を記述するためにポール・ディラックによって提唱された、相対論的量子力学における基礎方程式です。場の量子論にも受け継がれ、現代物理学において重要な役割を果たしています。

歴史的背景

相対論に対応したシュレーディンガー方程式の拡張として、当初はクライン-ゴルドン方程式が考案されました。しかし、この方程式は負のエネルギー解や負の確率密度の問題、そしてスピンを扱えないという課題がありました。

1928年、ディラックはこれらの問題を解決するために、ディラック方程式を提唱しました。この方程式は、負の確率密度を生じさせることなく、粒子のスピンを自然に記述することができました。しかし、ディラック方程式にも、自然界に存在しない負のエネルギー状態が現れるという新たな問題がありました。

この問題を解決するために、ディラックは「ディラックの海」という概念を導入しました。これは、真空とは負のエネルギーを持つ電子が完全に満たされた状態であるとするもので、負エネルギー電子が取り除かれた「空孔」が陽電子として観測されると解釈しました。1932年に陽電子が発見されたことで、ディラックの理論は現実の現象を説明する優れた理論として認められました。

その後、リチャード・P・ファインマンらによって場の量子論として再解釈され、ディラックの海を仮定しなくても電子と陽電子を対称に扱えるようになりました。

ディラック方程式の詳細

自然単位系（ħ=1, c=1）を用いると、ディラック方程式は以下のように表されます。

math
(iγ^μ∂_μ - m)ψ = 0


ここで、ψは4成分スピノルの場（ディラック場）、mはψの質量、γμはガンマ行列（ディラック行列）です。∂μは微分を表し、アインシュタインの縮約記法を用いています。

ガンマ行列は以下の関係を満たす4×4行列です。

math
{γ^μ, γ^ν} = 2η^{μν}I


ここで、η_{μν} = diag(+1, -1, -1, -1)はミンコフスキー空間の計量テンソル、Iは単位行列です。

ディラック方程式は、3次元的に書くと以下のようになります。

math
i \frac{\partial}{\partial t} ψ = (-i \boldsymbol{\alpha} \cdot
abla + \beta m) ψ


ここで、αj = γ0γj, β = γ0 であり、H = -iα⋅∇ + βm はディラックのハミルトニアンと呼ばれます。

ディラックの着想

ディラックは、クライン-ゴルドン方程式が時間について2階の微分方程式であるために負の確率密度を生じるという問題を解決するため、時間について1階の微分方程式に帰着させることを考えました。そして、空間成分についての2階微分を1階微分に分解する関係式を満たすように係数を与えることで、ディラック方程式を導き出しました。

ローレンツ共変性

ディラック方程式は相対論的な方程式であり、ローレンツ共変性を持ちます。ローレンツ変換に対して、ディラック場は以下のように変換されます。

math
ψ_a(x) → ψ'_a(x) = [D(Λ)]_a{}^b ψ_b(Λ^{-1}x)


ここで、D(Λ)はディラックスピノルの変換性を表す4×4行列であり、以下の関係を満たします。

math
[D(Λ)]_a{}^c [γ^μ]_c{}^d [D(Λ)^{-1}]_d{}^b = (Λ^{-1})^{μ}{}_ν [γ^ν]_a{}^b


ワイル表示においては、行列式1の2×2行列Mを用いてD(Λ)を表現できます。

まとめ

ディラック方程式は、フェルミ粒子を記述する上で非常に重要な方程式であり、相対論的量子力学や場の量子論の基礎となっています。その歴史的背景や数学的な構造を理解することで、素粒子物理学の理解を深めることができるでしょう。

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