行列の基本変形

行列の基本変形：その定義と性質、そして応用

線形代数学において、行列の基本変形は、行列の行または列に対して行う6種類の基本操作であり、行列演算において非常に重要な役割を果たします。これらの操作は、行列の構造を維持しつつ、より扱いやすい形に変形するために用いられます。本記事では、行列の基本変形について、その定義、性質、そして線形方程式への応用までを詳しく解説します。

行列の基本変形の定義

行列の基本変形は以下の6つの操作から構成されます。

1. 二つの列を入れ替える: 行列のある二つの列の位置を交換します。
2. ある列を0でない定数倍する: 行列のある列のすべての要素を、0でない定数倍します。
3. ある列に、他のある列の定数倍を加える: 行列のある列に、別の列の定数倍を加えます。
4. 二つの行を入れ替える: 行列のある二つの行の位置を交換します。
5. ある行を0でない定数倍する: 行列のある行のすべての要素を、0でない定数倍します。
6. ある行に、他のある行の定数倍を加える: 行列のある行に、別の行の定数倍を加えます。

これらの操作は、行に関する基本変形と列に関する基本変形に分類できます。行に関する基本変形は、行の操作のみを行い、列に関する基本変形は、列の操作のみを行います。

基本行列

基本変形は、基本行列と呼ばれる特殊な行列を掛けることで実現できます。基本行列とは、単位行列に基本変形を1回だけ適用して得られる行列です。具体的には、以下の3種類があります。

1. P_i,j: 単位行列のi行目とj行目を入れ替えた行列 (行の交換に対応)
2. Q_i,c: 単位行列の(i, i)成分をc（0でない定数）にした行列 (行の定数倍に対応)
3. R_i,j,c: 単位行列の(i, j)成分をcにした行列 (行への定数倍の加算に対応)

列に関する基本変形についても、同様の基本行列が存在します。

基本変形と基本行列の関係

ある行列に基本変形を適用することは、対応する基本行列を左から（行変形の場合）または右から（列変形の場合）掛けることと等価です。この性質を利用することで、複雑な行列演算を、基本行列の積として表現し、簡略化することができます。

基本変形の性質

基本行列は正則行列です。正則行列とは逆行列を持つ行列のことです。そのため、基本変形は行列の階数、行列式、逆行列などの重要な性質を変化させずに、行列の形を変えることができます。

標準形への変形

任意のm×n行列は、基本変形を繰り返すことで、階段行列と呼ばれる簡約された標準形に変形できます。この標準形は、行列の階数を求める際に非常に役立ちます。

行列式の計算

正方行列Aに対して、基本変形によって標準形Fに変形できたとすると、Aの行列式は、標準形Fの行列式と、適用した基本行列の行列式の積で表せます。基本行列の行列式は容易に計算できるため、この性質は行列式の計算を効率化します。

逆行列の計算

正則な正方行列Aに対して、基本変形によって単位行列に変形できたとすると、Aの逆行列は、適用した基本行列の積で表せます。この性質は、逆行列の計算を効率化します。

線形方程式への応用

線形方程式系Ax = bにおいて、Aに行基本変形を適用することで、方程式系を解きやすい形に変形できます。この際、bにも同じ基本変形を適用する必要があります。ガウスの消去法はこの原理に基づいたアルゴリズムです。

まとめ

行列の基本変形は、行列演算における強力なツールです。その性質を理解し、活用することで、行列式、逆行列の計算、線形方程式の解法などが効率的に行えます。線形代数の様々な分野で基本的な役割を果たすため、しっかりと理解しておくことが重要です。

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