正則行列

正則行列：線形代数の要となる行列

線形代数において、正則行列（regular matrix）は中心的な役割を果たす特別な正方行列です。正則行列は、簡単に言うと、逆行列を持つ正方行列のことです。この逆行列は、元の行列と掛け算すると単位行列（対角成分がすべて1で、それ以外の成分がすべて0の行列）になるという重要な性質を持っています。

正則行列の定義

n次正方行列Aが正則であるとは、以下の条件を満たすn次正方行列Bが存在することです。

`AB = E = BA`

ここで、Eはn次の単位行列を表します。この条件を満たすBは一意に定まり、Aの逆行列と呼ばれ、A⁻¹と表記されます。

正則行列の例

例えば、以下の行列Aは正則行列です。

`A = 1, 0], [0, 2`

このAの逆行列は次のようになります。

`A⁻¹ = 1, 0], [0, 1/2`

実際、AA⁻¹とA⁻¹Aを計算すると単位行列1, 0], [0, 1になることを確認できます。

一方、以下の行列Nは正則行列ではありません。なぜなら、どんな行列をかけても単位行列にならないからです。

`N = 0, 1], [0, 0`

正則行列の特徴づけ

正則行列かどうかを判定する方法はいくつかあります。代表的な方法は、行列式を用いる方法と、行列の基本変形を用いる方法です。

行列式を用いる方法: n次正方行列Aの行列式|A|が0でないことと、Aが正則であることは同値です。行列式が0の場合、行列は特異行列と呼ばれ、逆行列を持ちません。
基本変形を用いる方法: 行列の基本変形を用いて、行列を単位行列に変形できる場合、その行列は正則行列です。この過程で用いた基本変形を逆順に適用することで、逆行列を求めることができます。

正則行列の性質

正則行列は、いくつかの重要な性質を持っています。正則行列A, Bについて、以下の関係が成り立ちます。

`|A⁻¹| = 1/|A|`
`(A⁻¹)⁻¹ = A`
`(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹`
`A⁻¹ = (1/|A|) adj(A)` (adj(A) はAの余因子行列)
Aが冪零行列（ある正の整数kに対してAk = 0となる行列）でなければ、I-Aは正則であり、(I-A)⁻¹ = I + A + A² + ... + Ak⁻¹ (ただし、kはAの冪零度)
Aの転置行列ATも正則で、(AT)⁻¹ = (A⁻¹)T

正則行列と一般線形群

同じサイズの正則行列の全体は、行列の積を演算として、一般線形群という群をなします。これは線形代数や群論において重要な対象です。

まとめ

正則行列は、線形代数において重要な概念であり、多くの応用を持ちます。逆行列の存在、行列式の非ゼロ、基本変形による判定など、様々な観点から正則行列を理解することで、線形代数のより深い理解につながります。

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