行列表示

量子力学における行列表示の概要

量子力学では、行列表示が演算子と状態ベクトルを用いた計算方法として重要な役割を果たしています。この手法は、演算子を行列形式で表し、状態ベクトルを縦ベクトルとして扱うことにより、計算を簡潔に行うことができます。特に、数値計算の際には、微積分のような他の形式よりも行列表示がはるかに扱いやすいとされています。

演算子の行列要素

量子力学において、任意の完全正規直交系を選ぶことにより、演算子や状態ベクトルは具体的な行列形式に展開することが可能です。たとえば、

$$ A = extstyle igoplus_{m,n} |m
angle \rangle ext{A} |n
angle
angle $$

のように、演算子を行列形式で表すことができます。この場合、行列の要素は演算子の具体的な動作を示す重要な情報です。行列の要素は次のように定義されます。

$$ egin{equation}
iglra m igl| ext{A} igl| n igr
a = A_{mn} igr.
ag{1}
igl. igl. igr. igl. igr. ag{2}
$$

これを「演算子の行列要素」と呼び、行列表示における基礎的な構成要素となります。

行列表示での計算手法

行列表示を活用すると、状態ベクトルに演算子を作用させて新たな状態を得る際の計算が効率的に行えます。具体的には、

$$ ext{A} | ext{ψ}
angle = | ext{ψ}'
angle $$

という関係が成り立ちます。この式は、行列と縦ベクトルの掛け算によって新しい縦ベクトルを生成することを示しています。

$$ egin{equation}
extstyle igoplus_{n} A_{mn} ext{ψ}_{n} = ext{ψ}_{m}' igl. ext{ψ} igl. igl. ag{4}
ext{ψ}'
$$

または、行列の具体的な形式として、次のように表すこともできます。

$$ egin{pmatrix} A_{11} & A_{12} &
ightarrow\ A_{21} & ext{.} & ext{.}\ ext{.} & ext{.} & A_{mn} ext{.}\
ightarrow &
ightarrow & ext{.}\ ext{.} & ext{.} & ext{.}\ ext{.} & ext{.} & ext{.}\
ightarrow ext{.} ext{.}
ightarrow\ ext{(行列)} \ ext{} \ ext{✳︎行列Aは演算子により対称形状を持つ} ag{5} iggl.iggl. iggl.iggl. iggl. $$

このように行列表示を用いれば、状態の変化や演算の効率化が図れるため、量子力学における強力なツールとされています。

参考文献

1. Attila Szabo; Neil S. Ostlund 著、大野公男; 望月祐志; 阪井健男 訳 『新しい量子化学―電子構造の理論入門』東京大学出版会、1987年。ISBN 978-4130621113。
2. 清水明『新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』サイエンス社、2004年。ISBN 4-7819-1062-9。

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